第八章 重积分一、内容分析与教学建议重积分和定积分一样，都是来自实践中非均匀求和的需要，各种积分是不同维数空间的具体表现，因此教学中要从实例引出概念，且重点讲透二重积分概念和计算，避免平均使用力量（一） 重积分概念及性质关于重积分的概念，可由曲顶柱体或平面薄片质量等实例，在回顾定积分定义的基础上，通过分割、近似、求和、取极限来建立，至于性质的证明，可略讲。关于三重积分的概念和性质，和二重积分类似，教学上不必花较多时间。（二） 重积分的计算重积分一般都是化为累次积分来计算的，转化的关键是确定积分的上下限。对于二重积分，在推出直角坐标和极坐标的计算公式之后，应多举些例题，重点讲解画图，解不等式定限法及选择积分顺序及坐标系等技巧。关于三重积分，这部分内容比较复杂，教学上应细致。计算方法有直角坐标、柱面坐标和球面坐标法。对于直角坐标，除了讲解一般方法（先一后二法），还应介绍先二后一法。关于极坐标和球面坐标，首先应讲清这些坐标的含义及一些常用曲面的表示方法，然后在此基础上，结合几何意义，讲解定限及积分计算的具体方法。重积分的具体计算，通常要考虑到以下几个方面，选择合适的坐标系及恰当的积分顺序，确定积分的上下限，正确使用对称性（见附后），最后可通过一些综合例子，加强这方面理解和训练。（三） 重积分应用首先要结合二重积分概念讲清微元法思想及方法，其次要结合足够实例，使学生掌握用重积分来计算几何量（如面积体积等）及 物理量（重心、转动惯量等）。附：二重积分的对称性质一般的本科教材中都末具体给出，但在计算积分中经常用到，现补充如下：结论1：如果积分区域关于对称，则 结论2：如果积分区域关于轴对称，则 结论3：如果积分区域关于坐标原点对称，则 其中结论4：如果积分区域关于直线对称，则 三重积分的对称性，由教师自己给出。二、补充例题例1. 利用二重积分性质，估计积分 的值，其中是图形区域：解法1. 首先求在上的最小值和最大值 由于，令，得驻点， 的边界，此时 ， ，解法2：由积分中值定理，在上至少，使 其中，且（） 例2 求，其中解： 如图，曲线把区域分为和，其中，； 例3 证明（连续）证： 左端=，作出积分域交换积分顺序，左端=右端，证毕！注： 本题还可这样证明：令，证明例4 设在区间上连续，且，试证明证： 设平面区域，关于直线对称 例5 计算，其中由，围成。解： 如图，作曲线，则积分区域被分为和，关于轴对称，关于轴对称。由于被积函数是的奇函数，故有，由于的奇函数，故有 例6 计算，是由平面上曲线绕轴旋转所得平面 ，所围区域。解： 旋转面方程为，积分区域 注： 本题若采用先一后二法，将较麻烦!例7 设函数连续，其中，试求和解： 在平面上投影为圆，于是 当时有： 当时有： 且时，有，所以从而 例8 求曲面在点的切平面与曲面所围立体的体积 解： 不难想象，该立体的上、下底曲面一个是曲面的一块，一个是切平面的一块，首先确定立体在平面上投影区域由于切平面的法向量是，切平面方程：，即从而切平面与曲面的交线是，消去，可得投影，注意到在上，所以 例9 设半径为的球面的球心在定球面上，问当取何值 时，在定球面内部的那部分的面积最大？解： 可设的方程为，从而两球面的交线是，于是的方程为在在投影为的面积为 ，得驻点， ，当时，的面积最大。例10 有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点密度与驻 点到距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心位置。解法1： 证所考虑的球体为，以的球心为原点O，射线为正轴建立直角坐标系，则点的坐标为球面方程为 设的重心位置为，由对称性得：，而 因此球体的重心位置为。解法2：设所考虑的球体为，球心为，以定点为原点，射线为正轴建立直角坐标系，则球面方程为：。 设的重心位置为，由对称性得：， 而 故，因此球体的重心位置为。三、练习题1 计算，其中区域是由抛物线及直线所围成的区域 2 计算，其中是由所确定的区域 3 计算，其中为正方形区域： 4 更换积分次序 5计算由平面及所围成的立体的体积 6用二重积分求曲线所围区域面积 7. 球体 与的公共部分为一立体，求其体积 8. 用不同的积分次序（分别去对积分）计算三重积分，其中为由圆锥面的及平面所围成区域 9. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分，其中是由球面及圆锥面所围成（含轴部分） 10. 求球面含在圆柱面内部的那部分面积（）