新初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案一、选择题1如图，在矩形中，垂足为，设，且，则的长为（ ）A3BCD【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ACD，然后求出AC【详解】解：DEAC，ADE+CAD=90，ACD+CAD=90，ACD=ADE=，矩形ABCD的对边ABCD，BAC=ACD，cos=，AC=故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键2公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )ABCD【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解【详解】解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25，大正方形的边长为，小正方形的边长为5，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出3在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，米，平行于，的坡度为，坡长米，则的长为()（精确到0.1米，参考数据：，）A78.6米B78.7米C78.8米D78.9米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在RtCBF中求得BF、CF的长，再利用RtADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点GBC的坡度为1:0.75设CF为xm，则BF为0.75xmBC=140m在RtBCF中，解得：x=112CF=112m，BF=84mDECE，CEAB，DGAB，ADG是直角三角形DE=55m，CE=FG=36mDG=167m，BG=120m设AB=ymDAB=40tan40=解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.4图1是一个地铁站入口的双翼闸机如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘ACBD54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A(54+10) cmB(54+10) cmC64 cmD54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度【详解】如图所示，过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则RtACE中，AE=AC=54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又点A与B之间的距离为10cm，通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多5如图，在ABC中，ACBC，ABC30，点D是CB延长线上的一点，且ABBD，则tanD的值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】设ACm，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题【详解】设ACm，在RtABC中，C90，ABC30，AB2AC2m，BCACm，BDAB2m，DC2m+m，tanADC2故选：D【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6如图，在矩形中是的中点，平分交于点，连接，以下四个结论：平分；其中结论正确的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出ADEBCE（SAS），进而求出ABE是等边三角形，再求出AEPABP（SSS），进而得出EAPPAB30，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可【详解】解：在矩形ABCD中，点E是CD的中点，DECE，又ADBC，DC，ADEBCE（SAS），AEBE，DEACEB，EA平分BED，AEDAEB，AEDAEBCEB60，故：EB平分AEC，正确；ABE是等边三角形，DAEEBC30，AEAB，PEAE，DEACEP90，则CEP30，故PEBEBP30，则EPBP，又AEAB，APAP，AEPABP（SSS），EAPPAB30，APBE，故正确；DAE30，tanDAEtan30，ADDE，即，ABCD，正确；CEP30，CPEP，EPBP，CPBP，PB2PC正确综上所述：正确的共有4个故选：A【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明ABE是等边三角形是解题关键7如图，在x轴的上方，直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则OAB大小的变化趋势为（ ）A逐渐变小B逐渐变大C时大时小D保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明BEOOFA，得到；设B为（a，），A为（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，进而得到，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tanOAB=为定值，即可解决问题【详解】解：分别过B和A作BEx轴于点E，AFx轴于点F，则BEOOFA，设点B为（a，），A为（b，），则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根据勾股定理可得：OB=，OA=，tanOAB=OAB大小是一个定值，因此OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答8某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i1：2，BC12米，CD8米，D36，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米（精确到0.1米，参考数据：tan360.73，cos360.81，sin360.59）A5.6B6.9C11.4D13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案【详解】解:如图,延长DC、AB交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i1：2，得BE：CE1：2设BExm，CE2xm在RtBCE中，由勾股定理，得BE2+CE2BC2，即x2+（2x）2（12）2，解得x12，BE12m，CE24m，DEDC+CE8+2432m，由tan360.73，得0.73，解得AB0.733223.36m由线段的和差，得ABAEBE23.361211.3611.4m，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差9如图，在中，垂足为，的平分线交于点，则的长为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】在RtADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在RtADB中，由AD的长度及ABD的度数可求出BD的长度，在RtEBD中，由BD的长度及EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=ADDE即可求出AE的长度【详解】ADBCADC=ADB=在RtADC中，AC=4，C=AD=CD=在RtADB中，AD=，ABD=BD=AD=BE平分ABC，EBD=在RtEBD中，BD=，EBD=DE=BD=AE=ADDE=-=故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形10如图，ABC的外接圆是O，半径AO=5，sinB=，则线段AC的长为（ ）A1B2C4D5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交O于点D，连接AD，由CD是O的直径，可得CAD=90，又由O的半径是5，sinB=，即可求得答案【详解】解：连接CO并延长交O于点D，连接AD，由CD是O的直径，可得CAD=90，B和D所对的弧都为弧AC，B=D，即sinB=sinD=，半径AO=5，CD=10，AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.11已知B港口位于A观测点北偏东45方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）kmA8B9C6D7【答案】A【解析】【分析】【详解】解：MAB=45，BM=10，AB=20km，过点B作BDAC，交AC的延长线于D，在RtADB中，BAD=MACMAB=7545=30，tanBAD=，AD=BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（BD）2=202，BD=10，AD=10，在RtBCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4，CD=2，AC=ADCD=102=8km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km故选A【考点】解直角三角形的应用-方向角问题12如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象器