线性规划问题建模和求解例 雅致家具厂生产计划优化问题雅致家具厂生产4 种小型家具，由于该四种家具具有不同的大小、形状、重量和风格 所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均不相同。该厂 每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000 单位与400 小时，详细的 数据资料见下表。问：（1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？（2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1 小时？（3）如果可提供的工人劳动时间变为398 小时，该厂的日利润有何变化？（4）该厂应优先考虑购买何种资源？（5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60 元下降到55 元，问该厂的生产计划及日 利润将如何变化？表 1 雅致家具厂基本数据家具类型劳动时间（小时/件）木材（单位/件）玻璃 （单位/件）单位产品利润 （元/件）最大销售量 （件）12466010021222020033114050422230100可提供量400小时600单位1000单位解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量X,X,X,X,目标要求是日利润最大化,1234 约束条件为三种资源的供应量限制和产品销售量限制。 据此，列出下面的线性规划模型：MaxZ = 60x + 20x + 40x + 30x1234x + 2x + x + 2x 60012346 x + 2 x + x + 2 x 100012342 x + 1x + 3 x + 2 x 4004（木材约束） （玻璃约束） （劳动时间约束）St12x 1001x 2002x 503x 1004x,x ,x ,x12344（家具1需求量约束）（家具2需求量约束） 家具3需求量约束）（家具4需求量约束）（非负约束）其中X1,X2,X3,X4分别为四种家具的日产量。下面介绍用Excel中的“规划求解”功能求此题。 第一步 在 Excel 中描述问题、建立模型，如下图所示。第二步 在“工具”菜单中选择“规划求解”。第三步 在“规划求解参数”对话框进行选择如下图。第四步 点击“选项”按钮，弹出“规划求解选项”对话框。第五步 选择“采用线性模型”和“假定非负”，单击“确定”，返回下图。单击“求 解”，即可解决此题。最后结果如下页图所示。E3iicrosoft Excel - 2.1比1一雅致家具厂生产计划忧化.xls只读-Ifllxl|文件（）编辑（1）视图（V）插入（1）格式工具a）数据窗口迪帮肋（K）-Ifll X| V田昌aal龜龜才-鲁A z1啦国1宋体*12* H旦言=G6=SUMPR0DUCT(B$:E6 $E$15:$E$15)AbCDEFGHI.TK3问题描述4家具类型51234使用量可提供量6劳动时间2132400=4007木材（单4212600=6008玻璃单6212800=1000910日利润（6020403092001112模型13家具类型14123415日产量11008040016=17最大日销冷100200501001819202122与此结果对应立的敏厉蓝性报告如下表所斤示。仃2El ii crosoft Excel - 2.1乩1一垂致家具厂生产计划忧化.ils只读聲搖斛ft国宋体型|文件（I）编辑（1）观图（V）插入（X）格式辺工具（!）数据窗口帮助D H 1=1嘗贡翳龜AC可变单元格约束名字丄X模型/目标式允许的 系数Iicrosoft Excel 9. 0 墩感性报告工作表ex2-6-mIm Sheet 1 报告的建立：2001-8-6 11:04:02单元格$B$15$C$15$D$15$E$15$G$T 木材（单位/件）$G$8 玻璃单位/件）名字日产量件） 日产量件） 日产量（件）日产量1牛）单元格$G$E 劳动时间（小时/件）12345678910111213141516171819202122就绪约東限制值说明：（1）可变单元格表中，终值对应决策变量的最优解；递减成本指目标函数中决策变量的系数必须改 进多少才能得到该决策变量的正数解，改进对最大值为增加，对最小值为减少。（2）允许的增量（或减量） 指在保证最优解不变的前提下，目标函数系数的允许变化值。（3）在约束表中，终值是指约束的实际用量 影子价格式指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数值；这里的允许的增量 （或减量）是指在影子价格保持不变的前提下，终值的变化范围。根据模型运行结果可作出如下分析：(1) 由模型的解可知，雅致家具厂四种家具的最优日产量分别为100 件、80 件、40 件和 0 件，这时该厂的日利润最大，为9200 元。本问题的敏感性报告如上页表所示。 由上述敏感性报告可进行灵敏度分析，并回答题目中的问题(2)一(5)。(2) 由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为12 元，即在劳动时间的增量不超过25 小时的条件下，每增加l小时劳动时间，该厂的利润(目标值)将增加12元。因此，付给某工人10 元以增加 l 小时劳动时间是值得的，可多获利为：12一10 = 2(元)。(3) 当可提供的劳动时间从400 小时减少为 398 小时时，该减少量在允许的减量(100 小 时)内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为12 元。因此，该厂的利润变为： 9200+12X(398400)=9 176(元)。(4) 由敏感性报告可见，劳动时间与木材这两种资源的使用量等于可提供量，所以它们 的约束条件为“紧”的，即无余量的；而玻璃的使用量为800，可提供量为1000，所以玻璃 的约束条件是“非紧”的，即有余量的。因此，应优先考虑购买劳动时间与木材这两种资源。(5) 由敏感性报告可知，家具1 的目标系数(即单位利润)允许的减量为 20，即当家具 1 的单位利润减少量不超过20 元时，最优解不变。因此，若家具 1 的单位利润从 60 元下降到 55 元，下降量为 5 元，该下降量在允许的减量范围内，这时，最优解不变。因此，四种家具的最优日产量仍分别为100 件、80 件、40 件和 0 件。 最优值变为：9200+（5560）X100=8 700（元）。