第一章讨论题及其参考解答1.4人坐在橡皮艇里，艇浸入水中一定深度。到夜晚温度降低了，但大气压强不变，问艇浸入水中深度将怎样变化。答：由于橡皮的弹性使艇的线度可变,从而维持橡皮艇内气体的压强始终和大气压强相等。由知,在不变时与成正比,故夜晚时由于温度降低而减小。艇水平截面积缩小,而浮力不变,故吃水深度增加。1.5氢气球可因球外压强变化而使球的体积作相应改变。随着气球不断升高，大气压强不断减少，氢气不断膨胀。如果忽略大气温度及空气平均分子质量随高度的变化，试问气球在上升过程中所受浮力是否变化?说明理由。答：由于不管氢气球处于什么高度，球内氢气的压强恒等于球外空气压强,氢气球体积恒等于排开空气体积,而气球上升过程中球内外温度始终相同并且不随高度而变化，所以气球所排开空气的状态参量和氢气的状态参量完全相同。考虑到理想气体方程和气体种类无关，所以排开空气的物质的量恒等于氢气的物质的量。而氢气的物质的量是不变的,所以排开空气的物质的量也不变，故气球受到浮力不随高度而变。下面进一步做定量分析。设气球在地面处的压强为,体积为V0，在高度h处的压强和体积分别为、Vh。高度h处空气的密度为。气球在高度h处浮力等于排开同体积空气的重量，而其中为高度h处的空气摩尔质量,为高度h处的大气温度。由这两式可以得到（1）这里已利用了理想气体方程,其中为高度h处气球排开空气的物质的量。设气球在地面时大气的温度、压强、气球体积、空气密度及空气摩尔质量分别为、。则这时气球的浮力（2）正如前面分析的，气球排开空气的质量和氢气的质量始终相等。（3）根据题设条件有（4）由(1)式、(2)式、(3)式（4）式可知，即气球受到浮力不随高度而变。1.9系统A和B原来都处在平衡态，现使它们互相接触，试问在下列情况下，两系统接触部分是绝热的还是透热的，或两者都可能?（1）当VA保持不变,pA增大时，VB和pB都不发生变化；（2）当VA保持不变， pA增大时，pB不变而VB增大；（3）当VA减少、pA增大时，VB和pB均不变。答：（1）是绝热的。因为pAVA增大,所以A的温度增加。但它并不使B状态发生变化，说明既没有热量传递也没有做功。（2）是透热的。因为pAVA增大,所以A的温度增加。从B来说,VB增加了,说明B膨胀对外做了功,其能量只能来源于从A吸热。（3）因为VB和pB均不变,说明B的温度不变。但是VA减少、同时pA增大,这两者的乘积可变可不变,所以A的温度也可变可不变。若A的温度改变则是绝热的；若A的温度不变,则A、B相互按触的部分可能绝热,也可能透热。在透热壁的情况下，A被等温压缩。1.19一辆高速运动卡车突然刹车停下，试问卡车上的氧气瓶静止下来后，瓶中氧气的压强和温度将如何变化?答：高速运动的氧气瓶中的分子是在杂乱无章运动的基础上附加上x方向定向运动速度。氧气瓶静止下来后，气体分子与氧气瓶发生碰撞，高速的x方向定向运动动能通过分子之间的频繁碰撞逐步平均分配到y、z方向的自由度以及其他自由度上去。达到平衡态时,能量达到均分,温度上升,压强升高。1.20加速器中粒子的温度是否随粒子速度增加而升高?答：分子（或粒子）系统的温度是处于平衡态的群体的杂乱无章运动的平均动能大小的度量。加速器只能加速粒子的定向运动动能,不能增加热运动动能,所以在加速过程中粒子的温度是不变的。1.27试用势能曲线说明固体分子都在平衡位置附近作微小振动。试问固体分子总能量是正的还是负的?如何利用势能曲线解释固体热膨胀现象。答：对固体的热膨胀现象可作如下解释。组成晶体的微观粒子都在振动，宏观上看到的固体的线度是由相邻两微观粒子振动的平衡位置之间距离决定的。现用势能曲线来说明微观粒子如何作振动的。图中O点为势能曲线的最低点，它处于位置，而就是两粒子恰正相互接触时两质心之间的距离。也就是在绝对零度时相邻两粒子的平均距离(因为在绝对零度时的动能可以认为是零)。设在时的势能为Ep0。现考虑某微观粒子。它具有动能和势能,其总能量,则该粒子的能量变化情况将由图中横轴下面的一条虚线(实际上这就是总能量水平线)表示。由图可见，在（）时，动能为零。它受到方向向右斥力而反向运动，动能将逐步增加，势能逐步减少。当运动到时,斥力为零，动能最大。惯性使它继续向右运动。它受到的力改为方向向左吸引力，动能减小，势能增加。在时动能又变为零，在吸引力作用下粒子向左运动。振动如此产生。由于势能曲线的势能谷(称为势阱)的非对称性，其平衡位置不在处而在处，所以它不是简谐振动。当固体温度从绝对零度逐步升高时，总能量逐步增加，表示总能量高低的图中虚线逐步向上移。由于势能曲线在同一水平线上的两点中，表示吸引力的那一点的曲线倾斜程度总是比表示排斥力的那一点的倾斜程度小，因而随温度增加而增加。在图上由稍向右倾钭的曲线OO表示。这在宏观上反映为固体的线度增加，因而发生热膨胀。第二章讨论题及其参考解答2.1速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义。（1）；（2）；（3）。答：（1）表示分子速率介于到间的概率。（2）表示速率介于v到间分子的速率之和。这是因为表示速率介于到的分子数。这些分子的速率可认为都是。故所有其速率介于到间分子的速率之和就是。（3）表示其速率从v1到v2间所有分子的速率之和.2.2试问速率v1到v2之间分子的平均速率是否是?若是,其原因是什么?若不是,则正确答案是什么?答：不是。因为介于某一速率范围内的分子的平均速率应是所有介于这一范围内分子的速率之和再除以该范围内的总分子数。显然,速率从v1到v2范围内分子的速率之和为。速率从v1到v2范围内的总分子数是。故速率从v1到v2之间的所有分子的平均速率是2.4恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速度大的氢分子具备与氧分子化合的条件(如只有当速率大于某数值的两个氢分子和一个氧分子碰撞后才能复合为水)，同时放出热量。问瓶内剩余的氢分子的速率分布改变吗?(一种观点认为,因为氢气分子中速率大的分子减少了，所以分子的速率分布应该向温度低的方向变化；另一种观点认为,因为这是放热反应，气体温度应该升高,速率分布应该向温度高的方向变化,您认为如何?)。若氢气瓶为绝热容器，情况又如何?答：在气体化学反应进行过程中，平衡态尚未达到时是谈不上什么速率分布的。平衡态建立以后,混合气体中氢分子和氧分子的速率分布决定于它们自己的温度。若容器为恒温器,则速率分布不变。若为绝热容器,由于是放热反应,故温度要升高,速率分布向温度高的方向改变。2.5图所示为麦克斯韦速率分布曲线，在下图中A、B两部分面积相等，试说明图中的意义。试问是否就是平均速率?答：图中仅是概率分布曲线中的分界线。它仅表示速率0到间的概率与从到间的概率相等。与平均速率间无任何关系。2.8设某假想的分子速率分布曲线如图所示,试在横坐标轴上大致标出最概然速率、平均速率和均方根速率的位置。在何处，是否?与何者大?答：最概然速率就是图中曲线的峰值所对应的速率。但是由于该速率分布不是麦克斯韦速率分布,故其平均速率不一定比最概然速率大（当然麦克斯韦速率分布中的平均速率一定比最概然速率大）。我们有理由估计到，对于本题图所表示的速率分布曲线,很可能其平均速率反而比最概然速率小，其理由如下：我们知道,平均速率等于所有分子的速率之和被除以总分子数。若速率只能取分立数值,则其中为速率取的概率。若速率取连续值,则平均速率等于任一速率微分范围内的概率与该速率乘积的迭加（即积分）,它可表示为在麦克斯韦速率分布中区段的曲线下面积（即概率），要小于区段的曲线下面积。这说明在求麦克斯韦速率分布的平均速率时,从取平均时不同速率所占的杈重(即概率)的大小这一点来分析,则区段比区段的贡献要大（我们把这称为正作用,反之称为负作用）。另一方面,从求分子的速率之和这一点来看,速率大的分子要比速率小的分子贡献大些。也就是说，在求任一速率分布的平均速率时,速率相对大一些的区段要比速率相对小一些的区段的贡献大些(这也是正作用)。这两种正作用因素共同影响的结果，使麦克斯韦速率分布的平均速率比最概然速率大些。但是对于上图的分布曲线来说,区段的曲线下面积要明显小于区段曲线下面积(我们把这一点称谓一种比较强的负作用)。则它的平均速率就不一定大于最概然速率，而且很可能小于最概然速率。这是因为在麦克斯韦速率分布中,仅比高出12.8%。只要上面提到的负作用足够强,它能抵消甚至超过速率大的分子对速率之和的贡献要大些这种正作用,则平均速率很可能小于最概然速率,甚至均方根速率也可能小于最概然速率。显然，若图中分布曲线中的水平部分足够长，则均方根速率必然会小于最概然速率。至于与的大小比较,可如下得到：随机变量v会偏离平均值，即。一般其偏离值的平均值为零（即），但均方偏差0，所以即说明：我们遇到的实际问题常常是与多种因素相关联而比较复杂,常常无法作定量计算而只能定性分析。由此得到的结论可能只是一些判断或某种估计、估算。正因为它不严密,因而不可能100%准确。但是进行这种判断或估计、估算能力的培养却是十分重要的,因为它对于解决实际问题非常有帮助。2.11表示什么?表示什么?N表示什么?又表示什么?如何求得在速度空间中代表点的数密度?什么是分子速率分布的概率密度?试利用速度空间形象化地予以说明。答：表示其速度的三个分量在，而范围内的概率。也表示在速度空间中截面积为，其棱平行于轴的无穷长柱体中的代表点数与总代表点数之比。表示三个速度分量在，范围内的概率。它也表示体积为的微小立方体位于速度空间中任何一处时，其中的代表点数与总代表点数之比。因为表示体积为的微小立方体中的代表点数。而是微小立方体的体积，所以是速度空间中代表点的数密度。既然表示速度分量在，范围内的概率，它也是在速度空间中位于任意位置的体积为的微小立方体中的概率。由于概率被除以速度空间中微分元体积就是概率密度，所以是速度空间中任何位置处的概率密度。2.12何谓速度空间?速度空间中的一个点代表什么?速度空间中的个微分体积元代表什么?答：速度空间是以，作为直角坐标系三个坐标轴来描述的空间,是一种假想的空间，利用它可以描述粒子的速度大小和方向。从速度空间的原点向速度空间中的某一点画出一个矢量,该矢量的大小和方向就是所对应的速度矢量。速度空间中的微分元表示速度矢量的取值范围在，内的所有那些速度矢量的整体，而，是该立方体微分元中最靠近原点的那一