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精选优质文档-倾情为你奉上复 数1复数的概念:(1)虚数单位i;(2)复数的代数形式z=a+bi,(a, bR);(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集3复数a+bi(a, bR)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b0时,a+bi是虚数,其中a=0且b0时称为纯虚数。应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。4复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;(2)减法:z1z2=(a1a2)+(b1b2)i;(3)乘法:z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i;(4)除法:;(5)四则运算的交换率、结合率;分配率都适合于复数的情况。(6)特殊复数的运算: (n为整数)的周期性运算; (1i)2 =2i; 若=-+i,则3=1,1+2=0.5共轭复数与复数的模(1)若z=a+bi,则,为实数,为纯虚数(b0).(2)复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义,设a, b, c, dR,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。4复数a+bi的共轭复数是abi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别,最主要的是在运算中将i2=1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(abi)= a2+b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数,因此复数的除法可以通过将分母实化得到,即.7复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。(二)典型例题讲解1复数的概念例1实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m1)i是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)对应的点Z在第三象限?解:复数z=m+1+(m1)i中,因为mR,所以m+1,m1都是实数,它们分别是z的实部和虚部, (1)m=1时,z是实数; (2)m1时,z是虚数;(3)当时,即m=1时,z是纯虚数;(4)当时,即m1时,z对应的点Z在第三象限。例2已知(2x1)+i=y(3y)i,其中x, yR,求x, y.解:根据复数相等的意义,得方程组,得x=, y=4.例4当m为何实数时,复数z+(m2+3m10)i;(1)是实数;(2)是虚数;(3)是纯虚数 解:此题主要考查复数的有关概念及方程(组)的解法 (1)z为实数,则虚部m2+3m10=0,即,解得m=2, m=2时,z为实数。(2)z为虚数,则虚部m2+3m100,即,解得m2且m5. 当m2且m5时,z为虚数,解得m=, 当m=时,z为纯虚数 诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件,还应特别注意分母不为零这一要求例5计算:ii2i3+i2005. 解:此题主要考查in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i 000+ii.或者可利用等比数列的求和公式来求解(略) 诠释:本题应抓住in的周期及合理分组例8使不等式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m .解:此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虚数不能比较大小,解得, m=3.当m3时,原不等式成立诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例9已知z=xyi(x,yR),且 ,求z解:本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程,对数方程的解法 ,解得或, z2i或z12i诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键,正确、熟练地解方程(指数,对数方程)例10已知x为纯虚数,y是实数,且2x1iy(3y)i,求x、y的值解:本题主要考查复数的有关概念,实数与i的运算,复数相等的充要条件,方程组的解法设xti (tR,且t0),则2x1iy(3y)i可化为2ti1iy(3y)i,即(2t1)i1=y(3y)i,, y=1, t=, x=i.1已知复数z满足|z2|=2,z+R,求z.解:设z=x+yi, x, yR,则z+=z+, z+R, =0, 又|z2|=2, (x2)2+y2=4,联立解得,当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0),当y0时, , z=1, 综上所得 z1=4,z2=1+i,z3=1i.2复数z满足(z+1)(+1)=|2,且为纯虚数,求z.解:设z=x+yi (x, yR),则(z+1)(+1)=|2+z+1=|2, z+1=0,z+=1,x=.=为纯虚数, x2+y21=0, y=, z=+i或z=i.3复数z满足(1+2i)z+(310i)=434i,求z.解:设z=x+yi (x, yR),则(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i,整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i. , 解得, z=4+i.专心-专注-专业
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