第三讲 角平分线的性质与判定知识梳理】1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.【例题解析】【例1】如图，已知OD平分ZAOB, 在 OA、OB边上截取OA = OB, PMBD, PN丄AD. 求证：PM=PN【解法指导】由于PM丄BD, PN丄AD欲证PM=PN只需Z3=Z4,证Z3=Z4,只需Z3和Z4 所在的 OBD与AOAD全等即可.MPNA证明:TOD 平分 ZAOB AZ1 = Z2OB 二 OA在厶OBD 与 AOAD 中，= Z2:. OBDOADOD = ODAZ3=Z4TPM丄BD, PN丄AD所以 PM=PN【 变式题组】1.如图，CP、BP分别平分ABC的外角ZBCM、ZCBN.求证：点P在ZBAC的平分线上.PM=PN2 .如图，BD 平分 ZABC, AB = BC,1【例2】如图，已知四边形ABCD中，AC平分ABAD, CE丄AB于点E,且AE= -（AB+AD），如果ZD= 120，求ZB的度数1【解法指导】由已知Z1 = Z2, CE丄AB,联想到可作CF丄AD于F,得CE=CF, AF=AE,又由AE= - (AB厶+AD)得DF=EB，于是可证 CFD竺“EB，则ZB=ZCDF=60 .或者在AE上截取AM=AD从而构 造全等三角形.解：过点C作CF丄AD于点F. VAC平分ZBAD, CE丄AB,点C是AC上一点，.：CE=CFfCF 二 CE在 RtCFA 和 RtCEA 中，彳:.RtACFRtACE AF=AE丨AC二AC1又 VAE= - (AE+BE+AF-DF), 2AE=AE+AF+BE-DF,BE=DF厶VCF丄AD, CE丄AB,.ZF=ZCEB = 90CE 二 CF在ACEB 和 ACFD 中，ZF 二 ZCEB , :. CEBCFD DF 二 BE:.ZB=ZCDF 又 VZADC=120,.ZCDF=60，即 ZB = 60 .【 变式题组】S1. 如图，在ABC 中，CD 平分ZACB, AC=5, BC=3.求 aacdSACBD2.在四边形ABCD中，已知AB = a, AD = b.且BC=DC,对角线AC平分ZBAD,问a与b的大小符合 什么条件时，有ZB+ZD=180,请画图并证明你的结论.1【例 3】如图，在ABC 中，ZBAC=90 ,AB=AC, BE 平分ZABC, CE丄BE.求证：CE= - BD厶.BEF9ABEC(ASA)1 - CFVZ1+ZF=Z3+ZF=90，证明：延长CE交BA的延长线于F,VZ1 = Z2, BE=BE,ZBEF=ZBEC:.ABDACFZ1=Z3fZ1 = Z3在ABD 和 AACF 中，I AB = ACZBAD = ZCAF1:.BD = CF:.CE= BD-【变式题组】1.如图，已知 ACIIBD, EA、EB 分别平分ZCAB、ZDBA, CD 过点 E,求证：AB=AC+BD.2. 如图，在ABC 中，ZB = 60, AD. CE 分别是 ABAC.请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由;求证：AE+CD=AC.演练巩固】1.如图，在RtABC中,积是（ ）1A.二 mn3AC=90, BD 平分 AABC 交 AC 于 D，若 CD = n，AB=m，贝VABD 的面2.如图，已知AB=AC，1B. mn2BE=CE，下面四个结论:C.mnD. 2 mnBP=CP；AD丄BC；AE 平分 ABAC:ZPBC3.= APCB 其中正确的结论个数有（A.1B. 2如图，在AABC中，P、Q分别是BC、PQ，PR=PS，下列结论：AS=AR；A.B.）个C.AC上的点, PQAR；C.PCDA Q S C 第3题图3D. 4作PR丄AB, PS丄AC,垂足分别是R、S.若AQ =BRP9ACSP.其中正确的是（）D.EAC B第5题图B第1题图C盘题图4.如图，ABC 中, AB=AC, AD平分ABAC, DE丄AB, DFAC，垂足分另U是E、F,贝下列四个结论B D C第4题图中：AD上任意一点到B、C的距离相等；AD上任意一点到AB、AC的距离相等；AD丄BC 且BD = CD:ABDE=ACDF.其中正确的是（）A.B.C.D.5.如图，在RtABC中，AACB=90,ACAB = 30,AACB的平分线与AABC的外角平分线交于E 点，贝9 AAEB的度数为（）A. 50B. 45C. 40D. 356.如图，P 是ABC内一点，PDAB于D, PEBC于E, PF丄AC于F,且PD = PE=PF,给出下列结 论：AD=AF；ABEC=ACBE；BC+CF=AB+AF；点P是厶ABC三条角平分线的交点. 其中正确的序号是（ ）A.B.C.D.7. 如图，点P是AABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A.点P到AABC三边的距离相等B.点P在ZABC的平分线上1C.ZP 与 ZB 的关系是：ZP+ 2 ZB = 901D.ZP与ZB的关系是：ZB= - ZPC D B 第9题图8.如图，BD平分ZABC，CD平分ZACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：点D到AB、AC的距离相等；ZBAC=2ZBDC；DA = DC；DB平分ZADC.其中正确的个数是（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个9. 如图，ABC中，ZC=90 AD是厶ABC的角平分线，DE丄AB于E，下列结论中：AD平分ZCDE；ZBAC=ZBDE；DE平分ZADB；AB=AC+BE.其中正确的个数有（）A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 4 个10. 如图，已知BQ是ZABC的内角平分线，CQ是ZACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为M、N、K,则QM、QN、QK的关系是11. 如图，AD 是ZBAC 的平分线，DEAB 于 E, DFAC 于 F,且 DB = DC.求证：BE=CF12.如图，在ABC 中, AD 是ZBAC 的平分线，DEAB 于点 E, DFAC 于点 F.求证：AD 丄 EF.【反馈提高】1.如图，直线/2、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离 相等，则可选择的地址有( )A. 处B.二处C.三处D.四处2.已知RtABC中，AC=90,AD平分ABAC交BC于D,若 BC=32，且 BD:CD = 9:7,则 D 到 AB边的距离为()A. 18B.16C. 14D. 123. 如图，AABC中，ZC=90, AD是厶ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC=3cm,DB = 4cm, AD = 8cm. DP的长为x(cm)，那么x的范围是l2第3题图4.如图，已知ABIICD，PE丄AB, PF丄BD，PG丄CD,垂足分别为E、F、5. 如图，已知ABCD, O为ZCAB、ZACD的平分线的交点，OE丄AC,且OE=2，则两平行线AB、CD 间的距离等于6. 如图，AD平分ABAC, EF丄AD,垂足为P, EF的延长线于BC的延长线相交于点G.1求证：ZG= 2 (ZACBZB)7.如图，在 ABC中,ABAC, AD是ABAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:ABAODB DC8. 如图，在ABC 中，ABAC=60,AACB=40, P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分别为ABAC.AABC的角平分线上.求证：BQ+AQ=AB+BP