微积分的发展历程微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”，在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析研究的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。1）微积分的发展无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor）、麦克劳林（C.Maclaurin）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling）等。泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。他在1715年出版的正的和反的增量方法一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理 其中v为独立变量z的增量， 和 为流数。泰勒假定z随时间均匀变化，故 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”： 。泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作流数论，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。流数论中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。2）积分技术与椭圆积分18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布伯努利在求双纽线（在极坐标下方程为 ）弧长时，得到弧长积分 。在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分 。欧拉在1774年处理弹性问题时也得到积分 。所有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是 。勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式。在18世纪，法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等还就特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。对椭圆积分的一般研究在19世纪20年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数理论。3）微积分向多元函数的推广虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。1720年，尼古拉.伯努利证明了函数 在一定条件下，对x,y求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有 欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。达朗贝尔在1743年的著作动力学和1747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算。不过当时一般都用同一个记号d表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号 、 、到19世纪40年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐步普及，虽然拉格朗日在1786年曾建议使用这一符号。多重积分实际上已包含在牛顿关于万有引力的计算中，但牛顿使用了几何论述。在18世纪，牛顿的工作被人以分析的形式推广。1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为 的椭圆薄片对其中正上方一质点的引力的重积分： ，积分区域由椭圆 围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。而拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。4）无穷级数理论微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数，他凭藉二项式定理得到了sinx，cosx，tanx，arcsinx，arctanx和 等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。莱布尼茨也曾独立地得到了sinx,cosx,和arctanx等的级数，但他却对微积分问题的有限或封闭形式的解更感兴趣，他的学生们弥补了这方面的不足。尤其是雅各布.伯努利，他在16891704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布.伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数 的和是无穷的证明。他首先指出了故有 。这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示：它相当于利用它可以作 的近似计算。当n很大时， ，称之为斯特公式，虽然这一极限情形是由棣莫弗得到的。5）牛顿的“流数术”牛顿（Isaac Newton ,16421727）于伽利略去世那年1642年（儒略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛顿不是神童成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父W .埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何学，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。说在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论（Tract on Fluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。流数简论（以下简称简论）是历史上第一篇系统的微积分文献。流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在简论中提出微积分的基本问题如下：（a）设有两个或更多个物体A，B，C，在同一时刻内描画线段x，y，z，。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，的关系。（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比 的关系方程式，求另一线段y。牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。已知方程 ，牛顿分别以 和 代换方程中的x和y，然后利用二项式定理，展开得消去和为零的项 ，得，以o除之，得这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略去这些无限小，得即所求的速度p与q的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式 ，问题（a）的解为对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是，简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。牛顿在简论中是这样推导微积分基本定理的：edacqbyxp=Ifg如上图，设ab=x,abc=y为已知曲线q=f（x）下的面积，作deabadbe=p=1。当线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积 abed=x，变化率 ；cb扫出面积abc=y，变化率 ， 。由此得 ， 这就是说，面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值。这就是微积分基本定理。利用问题（b）的解法可求出面积y。 作为例子，牛顿算出纵坐标为 曲线下的面积是 ；反之，纵坐标为 的曲线真切线斜率为 。当然，简论中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。 在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。正如牛顿本人在流数简论中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。 在流数简论的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。 流数术的发展 流数简论标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后定成了三篇微积分论文，它们分别是： （1）运用无限多项方程的分析（De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，简称分析学，完成于1669年）； （2）流数法与无穷级数（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum，简称流数法，完成于1671年）； （3）曲线求积术（Tractatus de Quadratura Curvarum，简称求积术，完成于1691年）。这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。第一篇分析学是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的