一元二次方程的解法教案 一、素质教育目标（一）知识教学点：认识形如x2a（a0）或（ax+b）2c（a0，c0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知二、教学重点、难点和疑点1教学重点：用直接开平方法解一元二次方程2教学难点：认清具有（axb）2c（a0，c0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法3教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解如：（axb）2=c（a0，a，b，c常数），当c0时，有两个不等的实数解，c0时，有两个相等的实数解，c0时无实数解三、教学步骤（一）明确目标在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算“如果x2=a（a0），那么x就叫做a的平方根”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（axb）2=c（a，b，c常数，a0，c0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的（二）整体感知通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识（三）重点、难点的学习及目标完成过程1复习提问（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？（2）平方根的概念及开平方运算？2引例：解方程x2-4=0解：移项，得x24两边开平方，得x2 x12，x2-2分析 x24，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为2求一个数平方根的运算叫做开平方由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算练习：教材P8中1（1）（2）（3）（6）学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念3例1 解方程9x2-160解：移项，得：9x2=16，此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题负根练习：教材P8中1（4）（5）（7）（8）例2 解方程（x3）22分析：把x3看成一个整体y例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想练习：教材P8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解例3 解方程（2-x）2-810解法（一）移项，得：（2-x）281两边开平方，得：2-x=9 2-x9或2-x-9 x1=-7，x211解法（二） （2-x）2（x-2）2， 原方程可变形，得（x-2）2=81两边开平方，得x-29 x-29或 x-2-9 x111，x2-7比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的练习：解下列方程：（1）（1-x）2-180；（2）（2-x）24；在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2360，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根-x20，适合这个方程的根有两个，都是零由此渗透方程根的存在情况以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（axb）2c（a，b，c为常数，a0，c0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数（四）总结、扩展引导学生进行本节课的小节1如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解如（axb）2c（a，b，c为常数，a0，c0）2平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径3一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解四、布置作业1教材P17中A1（5）（6）（7）（8）； 2（1）（2）（3）（4）P18中B1、2（学有余力的学生做）五、板书设计122 一元二次方程的解法（一）引例：解方程x2-40例1 解方程9x2-16=0解：例2 解方程（x3）22此种解一元二次方程的方法称为直接开平方法形如（axb）2c（a，b，c为常数，a0，c0）可用直接开平方法练习：略六、作业参考答案教材P17A1教材P17A2教材P18B1教材P18B2