10.6 几何概型一、选择题1函数f(x)x2x2，x5,5，那么任取一点x05,5，使f(x0)0的概率是()A1 B. C. D.解析：将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x01,2时，f(x0)0.则所求概率P.答案：C2.(2009福建福州)为了测算如右图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是()A12 B9 C8 D6解析：正方形面积为36，阴影部分面积为369.答案：B3.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连结MN，则弦MN的长超过R的概率为()A. B. C. D.解析：在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD=MC= ，当点N不在半圆弧上时，MN ，故所求的概率P(A)= .答案：D4(2010高考改编题)在区间1,1上随机取一个数x，则sin的值介于与之间的概率为()A. B. C. D.解析：在区间1,1上随机取一个数x，要使sin的值介于与之间，需使，即x1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为，故选D.答案：D二、填空题5.(2009安徽合肥模拟)某人随机地在如右图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为_解析：设正三角形边长为a，则外接圆半径raa.概率P.答案：6.如右图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在xOT内的概率为.解析：射线落在直角坐标系内的任何一个位置都是等可能的，故射线OA落在xOT内的概率为P= .答案：7(2010广东调研)在矩形ABCD中，AB2，AD3，如果在该矩形内随机找一点P，那么使得ABP与CDP的面积都不小于1的概率为_解析：取AD的三等分点E、F，取BC的三等分点E、F，连接EE、FF，如右图所示因为AD3，所以可知BEEFFCAEEFFD1.又AB2，所以当点P落在虚线段EE上时，ABP的面积等于1，当点P落在虚线段FF上时，CDP的面积等于1，从而可知当点P落在矩形EEFF内(包括边界)时ABP和CDP的面积均不小于1，故可知所求的概率为P.答案：三、解答题8某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐8路、23路，8路车10分钟一班，23路车15分钟一班，求这位同学等车不超过8分钟的概率解答：如图，记“8分钟内乘坐8路车或23路车”为事件A，则A所占区域面积为810+78=136，整个区域的面积为1015=150，由几何概型的概率公式，得P(A)=0.91.即这位同学等车不超过8分钟的概率约为0.91.9甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率解答：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|15.在如右图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示由几何概型的概率公式得：P(A)= .所以，两人能会面的概率是.10(2010宁夏中卫调研)已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.(1)设集合P1,1,2,3,4,5和Q2，1,1,2,3,4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解答：(1)函数f(x)ax24bx1的图象的对称轴为x，要使函数f(x)ax24bx1在区间1，)上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba.若a1，则b2，1；若a2，则b2，1,1；若a3，则b2，1,1；若a4，则b2，1,1,2；若a5，则b2，1,1,2；所求事件包含基本事件的个数是2334416.所求事件的概率为.(2)由(1)知当且仅当2ba且a0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在区间1，+)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为如图阴影部分由得交点坐标为，所求事件的概率为P= .1(2010创新题)在集合(x，y)|0x5,0y4内任取一个元素，能使不等式10成立的概率为()A. B. C. D.解析：集合(x，y)|0x5,0y4在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x0，x5，y0，y4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式10和集合(x，y)|0x5,0y4表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为.答案：A2设有一44正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4 cm，现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点；求：(1)硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；(2)硬币落下后与网格线没有公共点的概率解答：(1)硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为P1(2)硬币落下后与网格线没有公共点的概率为P2.