专题16 平面向量的数量积及应用一、考纲要求: 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题二、概念掌握及解题上的注意点： 1.向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos .(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. 2.向量数量积性质的应用类型与求解策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(4)射影的数量(投影)a在b上的投影|a| cosa，b.三、高考考题题例分析： 例1(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.【答案】7【解析】a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7. 例2. (2017北京高考)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则的最大值为_. 【答案】6【解析】法一：根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)|cos ，|2，|，cos ，所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1,1所以的最大值为246.例3.(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_. 【答案】2.【解析】法一：|a2b|2.法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.例4(2015高考安徽，理8)是边长为的等边三角形，已知向量，满足，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】如图， 例5(2016高考山东理数)已知非零向量m，n满足4m=3n，cos=.若n（tm+n），则实数t的值为（）（A）4 （B）4 （C）（D）【答案】B【解析】：由，可设，又，所以所以，故选B.例6.(2016高考新课标2理数)已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】：向量，由得，解得，故选D.例7.(2017天津，理13)在中，.若，且，则的值为_.【答案】【解析】 ,则例8.（2018课标卷II）已知向量，满足|=1，=1，则（2）=（）A4B3C2D0【答案】B【解析】：向量，满足|=1，=1，则（2）=2=2+1=3，故选：B例9.（2018课标卷III）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=【答案】平面向量数量积及其应用练习一、 选择题：1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a ()A1 B0C1 D2【答案】C2已知向量a(1，x)，b(1，x)，若2ab与b垂直，则|a| ()A BC2 D4【答案】C【解析】：由已知得2ab(3，x)，而(2ab)b03x20x23，所以|a|23在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca ()AB0CD3【答案】A【解析】：依题意有abbcca.4.线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则 ()A B C D【答案】A【解析】：由等边三角形的性质得|，120，所以|cos，故选A.5已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ()AB3CD3【答案】C6若向量a(2，1)，b(3x,2)，c(4，x)满足(6ab)c8，则x等于 ()A4 B5 C6D7【答案】D【解析】：因为6ab(9x，8)，所以(6ab)c364x8x8，解得x7，故选D.7已知O为坐标原点，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，则tan 的值为 () ABCD【答案】A【解析】：由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan ，故选A8.设向量a，b满足|ab|4，ab1，则|ab| ()A2B2 C3D2【答案】B【解析】：由|ab|4两边平方可得|a|2|b|2162ab14，则|ab|2，故选B9.已知平面向量a，b的夹角为120，且ab1，则|ab|的最小值为 ()A. B C. D1【答案】10已知两点A(1,1)，B(3,5)，点C在曲线y2x2上运动，则的最小值为 ()A2BC2D【答案】D【解析】：设C(x0,2x)，因为(4,4)，(x01,2x1)，所以8x4x08，即的最小值为，故选D.11.O是平面上一点，动点P满足，0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的 ()A内心 B外心C垂心 D重心【答案】A【解析】1，表示与A的平分线共线的向量又，即，P一定在A的平分线上，即P点一定通过ABC的内心12已知a，b均为单位向量，且ab0若|c4a|c3b|5，则|ca|的取值范围是 ()A3， B3,5C3,4D，5【答案】B【解析】：a，b均为单位向量，且ab0，设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，二、 填空题：13.设向量a与b的夹角为，若a(3，1)，ba(1,1)，则cos _.【答案】【解析】：由题意得向量b(ba)a(2,0)，所以cos 14若非零向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(3ab)，则a与b夹角的余弦值为_【答案】【解析】：由(ab)(3ab)可得(ab)(3ab)0，又|a|1，|b|2，则可得ab，设a，b的夹角为，0，则cos .15.已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【答案】16已知向量a，ab，ab，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为_.【答案】1【解析】：由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|.由得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|得|ab|ab|，所以ab0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB1.三、 解答题:17已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)【答案】(1) |ab|4；|4a2b|16 (2) k7【解析】：由已知得，ab4816.18.如图431，已知O为坐标原点，向量(3cos x,3sin x)，(3cos x，sin x)，(，0)，x.图431(1)求证：()；(2)若ABC是等腰三角形，求x的值【答案】(2) x【解析】(1)证明：(0,2sin x)，()02sin x00，().(2)若ABC是等腰三角形，则ABBC，(2sin x)2(3cos x)2sin2x，整理得2cos2xcos x0，解得cos x0，或cos x.x，cos x，x.19.已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最小值【答案】(1) ab cos 2x；|ab|2cos x.(2) 最小值；最大值1.20.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值【答案】(1) tan x1. (2