测量探针作用力的几种提取方法比较摘要：作为直接测量微小表面结构的探针，原子力型探针已经广泛的应用于检测的各个领域。探针与表面的相互作用力可以通过振动参数的测量进行求解。本文介绍了两种求解方法，计算了其中一种方法在给定作用力下的求解误差,分析了计算时的影响误差因素。关键词：探针；作用力；振动Comparison of Methods for Extracting Interaction Forces of Measuring ProbeAbstract: Atomic force probe has been widely used in various fields as a direct measurement of surface of tiny structure. Interaction forces on the surface of the probe can be solved by measuring parameters of the vibration. This article introduces two methods of solving the Interaction forces. The error was calculated in a given interaction force with one of the methods, and factors was analyzed during the calculation. Key Word: Probe; Interaction Force; Vibration1 介绍随着测量结构的越来越小型化以及表面形貌越来越精密，不仅要求要求接触测量而且测量力也要求越来越小。当接触面积一定的情况下，然而探针与表面相互作用力在很大程度上衡量测量是否破坏表面的参数。同时，作用力的不同也能为我们提供表面属性的变化1。原子力型探针为我们提供了一种纳米级测量的手段。其动态测量模式可以有三个参数可以进行测量：幅值、相位和频率。由于探针和测量表面不是线性作用，所以动态模式测量下的参数变化也是非线性的2。这给测量带来比较大的困难。一般测量只是将探针和测量表面的作用作为一个状态指示器。给动态测量模式的三个变量中的一个的设定值，一旦状态改变反馈值不等于设定值，有控制系统驱动其他部件运动使状态恢复，记录下的部件运动即为测量值。当需要提取探针作用力的随接近距离连续变化的形式就必须进行对动态测量参数进行连续检测，而不仅仅是工作在某个状态。2 动态测量参数随接触距离的变化探针的自由振动可以看做是悬臂梁的弯曲振动。探针运动可以由四阶偏微分方程描述3。在一定频率的激励下，振动可以等效为一维振子的运动4。在其振动参数随探针和测量表面作用而变化这方面有很多的研究。图 1的曲线是幅值和频率随测量表面作用距离变化例子。图 1 动态模式下幅值和频率参数随探测距离的变化5, 6探针与测量表面作用是非线性的，探针的自由谐振在原子间的作用力下转变为非谐振。非谐振状态下获得连续的测量参数比较困难。但是在近似谐振的情况下，可以检测一些参数的连续变化关系。当非线性作用比较弱时,幅值变化比较小,而频率变化比较明显,特别是在高Q值的情况下。3 调频模式下频率变化函数在近似谐振情况下，频率变化可以表示为2 (1)分别是频率变化、共振频率、振动幅值、探针弯曲刚度、作用力、针尖距离测量表面距离。当已知作用力的形式时，可以求得频率变化随作用力参数变化的表达式。当作用力未知，需要求解积分方程。3 作用力的求解Durig提出了一个利用分数积算子的迭代方法7。设，求解。 (2) (3)当较大时,F很小 (4) (5)关于算子的迭代方程 (6)迭代方程始终收敛。另一种方法利用拉氏变换8 (7)则式可以表示为 (8)交换积分和线性算子 (9) (10)进行拉普拉斯变换 (11)式中 (12)为修正的第一类一阶贝瑟尔函数。近似求解 (13)误差曲线见图 2图 2 近似函数及误差曲线代入人后得到8 (14)等效刚度 (15)4 结论根据作用力的求解公式，可以对公式进行检验。试验作用力函数 (16)图 3 作用力及频率变化曲线在试验作用力下的频率变化计算见图 3。将取得的频率变化函数进行拟合。有最后式可以得到近似F(Z)。图 4中,a为分部积分后的截断计算;b为直接截断计算。可以看出,两种方法在z趋近于较大值和0时分别有较好的精度.图 4 试验作用力函数和由频率变化求得的作用力在计算式中第二、三项有奇异积分，数值计算误差会影响F(Z)。当采用分部积分后，式中有的二阶导数项。比较直接截断和分部积分公式后的计算结果，可知他们分别影响z趋近0和无穷两个方向的值。这可以从8中，求解F(z)各项的对应的近似范围中可以看出。参考文献1.Banerjee, S., et al., Mapping of surface local elastic constant using Atomic Force Acoustic Microscopy. arXiv preprint cond-mat/0409014, 2004.2.Giessibl, F.J., Forces and frequency shifts in atomic-resolution dynamic-force microscopy. Physical Review B, 1997. 56(24): p. 16010.3.Han, S.M., H. Benaroya, and T. Wei, Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories. Journal of Sound and Vibration, 1999. 225(5): p. 935-988.4.Melcher, J., S. Hu, and A. Raman, Equivalent point-mass models of continuous atomic force microscope probes. Applied Physics Letters, 2007. 91(5): p. 053101.5.Hoummady, M. and E. Farnault, Enhanced sensitivity to force gradients by using higher flexural modes of the atomic force microscope cantilever. Applied Physics A: Materials Science & Processing, 1998. 66: p. S361-S364.6.Kruger, D., B. Anczykowski, and H. Fuchs, Physical properties of dynamic force microscopies in contact and noncontact operation. Annalen Der Physik, 1997. 6(5): p. 341-363.7.Durig, U., Extracting interaction forces and complementary observables in dynamic probe microscopy. Applied Physics Letters, 2000. 76(9): p. 1203.8.Sader, J.E. and S.P. Jarvis, Accurate formulas for interaction force and energy in frequency modulation force spectroscopy. Applied Physics Letters, 2004. 84(10): p. 1801-1803.