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已知递推关系求数列通项的常见类型钟祥一中 陈国仿普通高中课程标准实验教科书数学(必修)第二章数列的考题B组题6:已知数列a n中,a 1=5,a 2=2,a n=2a n-1+3a n-2(n3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?可以看到,新课程改革对递推数列的要求比旧教材更高,现将常见的由递推关系求数列通项的情形归纳如下:1、a n+1a nf (n)型当f (n)为常数时,即为等差数列;当f (n)不为常数时,这类数列,可考虑利用累加法.例1:已知数列a n中,a 1=1,且a n+1a n3 n,求数列a n的通项公式解:由于本例给出了数列a n中连续两项的差,故可考虑用累加法求解a n(a na n-1)(a n-1a n-2)(a 3a 2)(a 2a 1)a 13n-13n-231练习1:已知数列a n中,a 12,a n1a nn2,求a n. 答:()2、f (n)型当f (n)为非零常数时,即为等比数列,当f (n)不为常数时,这类数列,可考虑利用累乘或迭代法.例2:在数列a n中,已知,且a 11,求通项a n解:由于本例给出了连续两项的比,故可考虑用累乘法求解.a na 11n练习:已知,a 11,求数列a n的前n项和 答:先求得a n=,进而Sn3、a n1a n型对于形如a n1a n型所决定的数列a n的通项公式,我们可以设a n1x=(a nx),从而构造一个数列a n+x,它是一个首项为a 1x,公比为的等比数列,从而得到数列a n的通项公式例3:已知a n1a n,且a 1,求数列a n的通项公式解:由于a n1a n 可变形为a n1(a n)故数列a n是以a 1为首项,为公比的等比数列a n()n a n()n 练习3:已知a 1,且3 a n1a n10,求数列的通项a n答:a n()n-1+已知数列a n满足a 11,a n12 a n3,求a n答:a n2 n+134、a n1a nn型对于此种递推关系,可变形为a n1p(n+1)q(a npnq),使数列 a npnq为一个等比数列,从而求得数列a n的通项公式例4:已知数列a n中,a n12 a n3n2,且a 11,求通项a n解:设a n1p(n+1)q2(a npnq),比较得,p=3,q=5从而有a n13(n+1)+52(a n3n5)所以 a n3n5是首项为a 1+3159,公比为2的等比等列a n3n592n-1 a n92n-13n5练习4:已知a n1 a n2n,a 12,求数列a n的通项a n及前n项和Sn答:a n()n-13n2,Sn()n已知a n13 a n4n4,且a 12,求通项a n答:a n73 n-12n35、a n1a npn型当1时,即为等差数列,当1时,对于此种递推关系,可两边同除以n得到数列为等差数列例5:已知a n12 a n2n,且a 13,求通项a n解:由a n12 a n2n 可得1数列是首项为3,公差为1的等差数列3(n1)1n2 a n(n2)2n-1练习5:已知a n13an+3n,且a 12,求通项a n答:a n (n1)3n-16、a n1a nqn(q)型当1时,即为类型1,当1时,对于此种类型的递推关系,可变形为a n1pqn+1(a npqn)得到a npqn 为一等比数列例6:已知数列a n满足a n13a n2n,且a 1=1,求通项a n解:由于a n13a n2n可变形为a n12n+13(a n2n) a n2n 是首项为a 1+2=3,公比为3的等比数列a n2n3n a n3n2n练习6:已知a n12 a n3n,且a 1=2,求通项a n答:a n3n2n1已知a n14 a n32n+1,a 1=1,求通项a n答:a n=74n-132n7、a a n型对于此种类型的递推关系,两边取对数,即化为类型例7:已知a 4a n,且a 1=1,求通项a n解:由a 4a n 两边取对数得2log a n1log a n2 log a n1log a n1从而可得log a n12(log a n2) log a n2是首项为2,公比为的等比数列log a n22()n-1 a n2练习7:已知a 3a n,且a 19,求通项a n答:a n38、含a n1a n与a n1a n型对于形如a n的递推数列,总能取倒,化为类型3,进而求出通项a n例:已知3a n a n1a na n10,a 1,求通项a n解:由3a n a n1a na n10,得a n取倒得3 3是首项为2,公差为3的等差数列2(n1)33 n1 a n练习8:已知3a n a n1a na n10,a 1,求通项a n答:a n已知a n,a 12,求通项a n答:a n9、a n1型对于此种递推关系,当b=0时,此即类型8,当b0时,可两边同加上常数,化为类型8例9:数列 a n 中,已知a 74,且a n+1,求数列 a n 的最小项与最大项解:设a n+1+=令,得=2 a n+12 = 等差=+(n7)()= a n22a 9最大,a 912,a 10最小,a 108练习9:数列 a n 中,已知a 56,a n+1,求通项a n答:a n3数列 a n 中,已知a 56,a n+1 a na n+17 a n160,求通项a n答:a n10、a n+2p a n+1+q a n型对此种类型的递推关系,可设a n+2+a n+1=(a n+1+a n),其中、满足,从而得到数列 a n+1+a n为一等比数列,进而求出数列a n的通项公式例10(数学必修P696)已知数列a n中,a 15,a 22,a n2 a n-1+3 a n-2(n3),试求数列a n的通项公式解:设a n+a n-1(a n-1+a n-2)有,解得或当时,有a n+ a n-13(a n-1+ a n-2)此时,数列a n1a n是首项为a 2+a 1=7,公比为3的等比数列a n1a n=73n-1 当时,有a n3 a n-1(a n-13 a n-2)此时, a n+13a n是首项为a 23a 113,公比为1的等比数列a n+13a n13(1)n-1得a n73n-113(1)n-1我们看到,由,得到两组解或,以上,我们求通项时用,的两组值。事实上对于,的任何一组值,都可独立地求得其通项公式对于,我们可得到a n+1a n=73n-1,此即类型6,设a n+1p3n+1(a np3n)比较得,p=,从而有a n+13n+1(a n3n)数列 a n3n 是首项为a 13,公比为1的等比数列a n3n(1)n-1于是a n3n(1)n-173n-1+13(1)n-1对于,我们可得到a n+13a n13(1)n-1,此即类型6设a n+1p(1)n+13a n p(1)n比较得,p=,从而有a n+1(1)n+13a n (1)n数列 a n (1)n 是首项为a 1=,公比为3的等比数列a n (1)n=3n-1于是a n=3n-1(1)n73n-113(1)n-1 练习10:数列a n中,a 13,a 23,a na n-1+6 a n-2(n3),试求通项a n答:a n83n-1+7(2)n-1试求斐波那契数列,a 1a 21,a n+2a n+1a n的通项公式答:a n练习解答:设a n+2a n+1(a n+1a n)则 或当,时有:a n+2 a n+1(a n+1 a n) a n+1 a n 是首项为a 2 a 1,公比为的等比数列a n+1 a n()n 当,时有:a n+2 a n+(a n+1 a n) a n+1 a n是首项为a 2 a 1=,公比为的等比数列a n+1 a n()n 由得a n
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