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2023-2024学年广东省江门市新会一中高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数5i2的共轭复数是()A. 2+iB. 2iC. 2+iD. 2i2.已知函数f(x)=sin(2x5),则()A. (320,720)上单调递增B. (15,310)上单调递增C. (310,45)上单调递减D. (320,1320)上单调递增3.底面积为2,侧面积为6的圆锥的体积是()A. 8B. 83C. 2D. 434.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为( 72.65)()A. 1.0109m3B. 1.2109m3C. 1.4109m3D. 1.6109m35.设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则()A. “x=3”是“ab”的必要条件B. “x=3”是“a/b”的必要条件C. “x=0”是“ab”的充分条件D. “x=1+ 3”是“a/b”的充分条件6.已知e1,e2是夹角为60的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=3e1+2e2的夹角是()A. 30B. 60C. 120D. 1507.已知ABC的外接圆圆心O,且2AO=AB+AC,|OA|=|AB|,则向量BA在向量BC上的投影向量为()A. 14BCB. 34BCC. 14BCD. 34BC8.当x0,2时,曲线y=sinx与y=2sin(3x6)的交点个数为()A. 3B. 4C. 6D. 8二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知复数z=m21+(m+1)i(mR),则下列命题正确的是()A. 若z为纯虚数,则m=1B. 若z为实数,则z=0C. 若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=1D. z在复平面内对应的点不可能在第三象限10.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的有()A. 若a/,b/,则a/bB. 若a,b,则a/bC. 若a/b,b/,a,则a/D. 若a/,/,a,则a/11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等,如图,已知圆O的半径2,点P是圆O内的定点,且OP= 2,弦AC,BD均过点P,则下列说法正确的是()A. PAPC为定值B. 当ACBD时,ABCD为定值C. 当ABC=3时,ABC面积的最大值为 32D. OAOC的取值范围是4,0三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知平面截球O的球面所得圆的面积为,O到的距离为3,则球O的表面积为_13.在ABC中,已知tanA,tanB是关于x的方程x2+m(x+1)+1=0的两个实根,则C=14.如图,在ABC中,点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为_四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=2sin2x4cos2x+1(1)求f(x)的最小正周期;(2)设g(x)=f(x2),求g(x)在区间0,3的最大值与最小值16.(本小题15分)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ 3cosA=2(1)求A;(2)若a=2, 2bsinC=csin2B,求ABC周长17.(本小题15分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,BC/AD,EF/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED= 10,FB=2 3,M为AD的中点(1)证明:BM/平面CDE;(2)求点M到ABF的距离18.(本小题17分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面PAD底面ABCD,M是PD的中点(1)求证:CD平面PAD;(2)求证:AM平面PCD;(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值19.(本小题17分)如果函数y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f(x+a)=f(x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”(1)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”,若具有“P(a)性质”求出所有a的值;若不具有“P(a)性质”,请说明理由(2)已知y=f(x)具有“P(0)性质”,且当x0时f(x)=(x+m)2,求y=f(x)在0,1上的最大值(3)设函数y=g(x)具有“P(1)性质”,且当12x12时,g(x)=|x|.若y=g(x)与y=mx交点个数为2023个,求m的值参考答案1C2A3B4C5C6C7A8C9ABD10BCD11ABD1240133414215解:f(x)=2sin2x4cos2x+1=1cos2x2(1+cos2x)+1=3cos2x(1)f(x)的最小正周期T=22=;(2)g(x)=f(x2)=3cos(2x2)=3cosx,x0,3,3cosx3,32. 即g(x)在区间0,3的最大值为32,最小值为316解:(1)因为sinA+ 3cosA=2,所以2sin(A+3)=2,即sin(A+3)=1,由A为三角形内角得A+3=2,即A=6;(2)因为 2bsinc=csin2B, 2bsinC=2csinBcosB,由正弦定理可得: 2bc=2bccosB,可得cosB= 22,又因为B(0,),所以B=4,C=AB=712,在ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4,所以b=4sinB=2 2,c=4sinC=4sin712=4sin(4+3)= 6+ 2,所以ABC的周长为a+b+c=2+3 2+ 6综上,ABC的周长为2+3 2+ 617解:(1)证明:因为BC/AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点,所以BC/MD,BC=MD,四边形BCDM为平行四边形,所以BM/CD,又因为BM平面CDE,CD平面CDE,所以BM/平面CDE;(2)如图所示,作BOAD交AD于O,连接OF,因为四边形ABCD为等腰梯形,BC/AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,结合(1)BCDM为平行四边形,可得BM=CD=2,又AM=2,所以ABM为等边三角形,O为AM中点,所以OB= 3,又因为四边形ADEF为等腰梯形,M为AD中点,所以EF=MD,EF/MD,四边形EFMD为平行四边形,FM=ED=AF,所以AFM为等腰三角形,ABM与AFM底边上中点O重合,OFAM,OF= AF2AO2=3,因为OB2+OF2=BF2,所以OBOF,所以OB,OD,OF互相垂直,由等体积法可得VMABF=VFABM,VFABM=13SABMFO=13 34223= 3,cosFAB=FA2+AB2FB22FAAB=( 10)2+22(2 3)22 102=12 10,sinFAB= 392 10,SFAB=12FAABsinFAB=12 102 392 10= 392,设点M到FAB的距离为d,则VMFAB=VFABM=13SFABd=13 392d= 32,解得d=3 1313,即点M到ABF的距离为3 131318解:(1)证明:在正方形ABCD中,CDAD,又侧面PAD底面ABCD,侧面PAD底面ABCD=AD,CD底面ABCD,所以CD平面PAD(2)证明:(证法一)因为CD平面PAD,AM平面PAD,所以CDAM, 因为PAD是正三角形,M是PD的中点,所以AMPD,又CDPD=D,CD,PD平面PCD,所以AM平面PCD,(证法二)因为CD平面PAD,又CD平面PCD,所以平面PCD平面PAD,因为PAD是正三角形,M是PD的中点,所以AMPD,又平面PCD交平面PAD于PD,AM平面PAD,故AM平面PCD(3)取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,则EF=CD,EF/CD,因为ADCD,所以EFAD,又在正PAD中,PEAD,因为EFPE=E,EF,PE平面PEF,所以AD平面PEF,因为正方形ABCD中,AD/BC,所以BC平面PEF,又EF、PF平面PCD,所以BCEF,BCPF,所以PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,因为CD平面PAD,EF/CD,所以EF平面PAD,因为PE平面PAD,所以EFPE,设正方形ABCD的边长AD=2a,则EF=2a,PE= 3a,所以PF= PE2+EF2= 7a,所以cosPFE=EFPF=2 77,即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为2 7719解:(1)由sin(x+a)=sin(x)=sinx,所以a=2k+,kZ,所以函数y=sinx具有“P(a)性质”,其中a=2k+,kZ(2)因为y=f(x)具有“P(0)性质”,所以f(x)=f(x),设x0,则x0,所以f(x)=f(x)=(x+m)2=(xm)2,当m0时,f(x)在0,1为增函数,所以最大值为f(1)=(1m)2;当0m12时,f(x)在0,m单调递减,在(m,1单调递增,且f(0)f(1),所以最大值为f(1)=(1m)2;当12mf(1),所以最大值为f(0)=m2;当m1时,f(x)在0,1为减函数,所以最大值为f(0)=m2;综上可知,当m12时,最大值为f(0)=m2;当m12时,最大值为f(1)=(1m)2(3)因为函数y=g(x)具有“P(1)性质”,所以g(1+x)=g(x),g(1+x)=g(x);所以g(x+2)=g(1+1+x)=g(1x)=g(x),即g(x)是以2为周期的函数,又设12x32,则121x12,g(x)=g(x2)=g(
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