二次函数背景下线段的最大值问题重庆永川萱花中学：刘荣幸中考透视：随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。二次函数背景下线段的最大值问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题是以二次函数图像为载体，来研究图形的最大值问题，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目之一。三维教学目标：1、能求二次函数中线段的最大值。2、体会转化的数学思想。教学重点：能求二次函数中线段的最大值。教学难点：各种变式线段最值的求法教学方式：合作学习，读，讲，议，练，评。教学手段：利用多媒体教学。教学过程：一、新课引入：直接提问：我们在初中阶段学过哪些有关的线段的最值问题？学生回答：1，两点之间线段最短。2，垂线段最短。3“水水泵房选址”问题等。教师立即接着提问：刚才同学回答的有关线段最值问题都是线段最小值问题，我们在学习什么内容时，有最大值问题呢？（同学们答：二次函数），那今天我们就来研究二次函数背景下线段的最大值问题。展示课题。二、公式：直接出示平面坐标系中的竖直线段和水平线段，用点的坐标表示出线段。得出：水平时,线段AB=右减左，竖直时,线段AB=上减下。三、典型例题（基本题型）：如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图像交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合） 过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；导学：PQ是竖直线段还是水平线段？如何表示？导做：独立完成，集体交流，抽同学上黑板上板书。导思：线段的最值转化为求二次函数的最值。竖直线段的表示方法：两点纵坐标之差上减下四、变式：问题：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；导学：PM如何表示？导做：独立完成，做好交流发言的准备 导思：直接表示PM，水平线段-右减左 转化为竖直线段，需找到二者关系。 学做思三：变式2问题：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P点到直线AC距离的最大值：导学：能否进行线段的转化，化为竖直线段或者水平线段求解？导做：小组讨论形成意见，做好小组发言准备导思：转化为竖直线段五、练习变式3如果没有特殊角你还会做吗？变式4如果要求三角形的周长的最大值你还会求吗？六、反思总结：一个数学思想：转化思想两个基本线段：竖直线段和水平线段 三个转化：水平线段 竖直线段 斜线段 竖直线段三角形周长 竖直线段七、作业布置：直通中考（2014 重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。 （1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ AB交抛物线于点Q，过点Q作QN X轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求 AEM的面积；