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近两年来江苏高考应用题的分析与展望扬州市邗江区蒋王中学 王跃应用题在以往历年高考中是“可怕题”,是学生心中“永远的痛”。但今年命题者能以一等的襟抱,站在人文关怀的视点,不仅提供了函数模型,还提供了坐标系,以贴近生活的数学背景,为考生带来了无障碍的审题快感,考查学生而不刁难学生,授人以渔而不授人以鱼,更着眼于优化学生思维品质,提升精神境界,使试题不再是高中学习的终点,而是学生发展和提高的新起点。2014年应用题位于第18题,即解答题第四题,16分,是关于保护古桥和建造新桥的问题,主要运用解析几何的思维方式,综合运用直线和圆、不等式或三角函数等知识解决问题,题目创新程度较高,但也体现了数学建模的思维方式,是一道思维程度较高的试题,有很大的难度,但并不代表未来的出题方向。今年应用题位于第17题,14分,可以说是近年来最简单的一道应用题,当应用题出现在17这个位置的时候,显然是不会怎么难的,对应用题有恐惧的学生做到这里应该仍然会心里暗爽,直接带进去算算,细心一些,第一问就顺利搞定,第二问与08、11的应用题类似,用导数写出切线方程,再用导数求出最值(也可用基本不等式)。此题源于教材而不拘泥于教材.并能充分挖掘深层次内涵,细心的解题者不难从课本中窥出一些端倪。如此命题导向,无疑是对中学数学教学中普遍存在的“重教辅,轻教材”的倾向的有力矫正.【今年高考应用题的分析】: 【题目】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式,并写出其定义域; 当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.试题分析:(1)由题意得函数过点,列方程就可解出的值;(2)求公路长度的函数解析式,就是求出直线与轴交点,再利用两点间距离公式计算即可,关键是利用导数几何意义求出直线方程(也可用三角函数求出),再根据为的两个端点的限制条件得定义域为;对函数解析式的根式内部单独求导(也可也可用基本不等式)求最值。乍看本题无需建模,貌似披着应用题外衣的函数题!潜心研究之下,掩卷感慨,本题浓缩了命题专家的智慧,它的特征、规律、背景等都给我们教学有很大的启示!实际上,它的几何背景是有关函数图像的切线问题,而高中学过的所有初等函数的切线、切点以及切线线段最短长是有规律的,甚至是定值。先从本题的幂函数背景分析:OxyPAB如果曲线C改为,过曲线上点作切线,则切点无论在何处,切点始终是公路(即切线段AB)的中点(即定值,既与参数无关也与切点的选取位置无关),且当时,公路即切线段AB最短。而本题曲线C改为,则切点无论在何处,切点始终是公路(即切线段AB)的点(即定值),且当时,公路即切线段AB最短。而本题曲线C改为,则切点无论在何处,切点始终是公路(即切线段AB)的点(即定值),且当时,公路即切线段AB最短。推广,如果曲线C改为,则切点无论在何处,切点始终是公路即切线段AB的点(即定值),且当时,公路即切线段AB最短。证明如下:(),则,因为切点;所以切线为:,易得) 显然,点始终是切线段AB的点(即定值)。PAB再看函数,过此函数图像上任意一点(非原点)作此图像的切线,分别交轴分别与两点,则切点无论在何处,点始终是线段的中点(即定值,既与参数无关也与切点的选取位置无关)。PAB若把函数改为,则有(定值),既与参数无关也与切点的选取位置无关。 同样,可推广,若函数为,则有(定值)再看指数函数,也有类似的定值!即过此函数图像上任意一点(非原点)作此图像的切线,则切点的横坐标与该切线的横截距之差始终为定值!PA 类比对数函数,也有类似结论,即过此函数图像上任意一点(非原点)作此图像的切线,则切点的纵坐标与该切线的纵截距之差始终为定值!PA 由此可见,数学本身的博大精深促动着,高考应用题正在摆脱其背景必须为社会热点问题的束缚,从而给命题者有更大的空间,使今后的高考应用题更具有数学本身知识的内涵,更富有创意!【应用题难度变化对教学展望】1.题目并不是那种直接来自生活、远离数学、需要很多社会知识的应用题。数据经过精心设计,不再需要繁琐的计算,有些试题仅仅是数学知识内部的应用。2.图形给出;这几年的应用题都无一例外地给出了示意图,这样处理使题意变得更加明确、直观,也降低了思维的强度。3.变量明确;这两年的高考中几乎所有应用题都直接给出变量,不需要学生自己引入变量;一方面有利于解答的一致性,另一方面明确了解题的方向,也减少了学生的思考时间。4.今后高考应用题的“本”不会变,虽然试题可以千变万化,但万变不离其宗,问题的解决还需回到中学数学重点知识内容和重要思想方法这个“本”上来。因而应用题的复习切莫忽略数学基本功的落实。随着新课改的推进及高考模式的发展变化,无论从涉及的知识还是方法上讲,应用题教学和考试的重点都发生了变化,原来概率、数列、线性规划等方面的应用题逐渐淡出高考,取而代之的是导数、分段函数等新兴力量。在复习中正确分清这些主次重点,关注典型包含常考知识和重要方法的应用题。摒弃一些非主流的或过时的问题,对提高复习效率具有重要意义。我想,高考命题求稳求新,命题不会突变,是一种自然的渐变发展,这样的试题留给我们的不应是教学的点缀与教研的调味品,它对我们的教学启示是不言而明的。即不管问题来源如何,结合课本学习解题是明智之举。这就需要我们处理好“模仿与迁移”的关系!模仿不能是简单浅层次的“摹仿”,也不是靠多做题,总结解题模式,而是深层次有效的方法迁移一种独立的创造活动,数学思想方法是基于数学知识又高于数学知识的一种隐性知识,是在反复的体验和实践中才能逐渐认识内化的。因此,从教师的角度,在数学复习教学中,不能徘徊于解题方法的简单堆砌与解题技巧的神秘再现,也不能满足于让现成的例子与现成的观点互相佐证。必须遵循“揭示渗透”的原则有意识重新揭示其发生过程,突出基本数学思想和方法,适时渗透,以巩固和深化学生对知识的理解和方法的领悟。
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