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福建省永安一中等三校重点中学2023届高三下学期第二次联合考试数学试题试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1的展开式中的系数为( )A30B40C40D502已知,则( )ABCD3若直线经过抛物线的焦点,则( )ABC2D4设,为两个平面,则的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C,平行于同一条直线D,垂直于同一平面5已知双曲线的左焦点为,直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直,直线与双曲线的左支交于不同的两点,若,则该双曲线的离心率为( )ABCD6如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,ABCDO,且ABCD,SOOB3,SE.,异面直线SC与OE所成角的正切值为( )ABCD7已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为( )ABCD8已知复数,则的虚部是( )ABCD19已知数列中,且当为奇数时,;当为偶数时,则此数列的前项的和为( )ABCD10已知集合,集合,则( ).ABCD11已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,则球的表面积为( )ABCD12正方形的边长为,是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且,则的最小值为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13展开式中的系数的和大于8而小于32,则_14在三棱锥中,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的表面积为_.15已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为_.16已知,且,则最小值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,在正四棱柱中,过顶点,的平面与棱,分别交于,两点(不在棱的端点处).(1)求证:四边形是平行四边形;(2)求证:与不垂直;(3)若平面与棱所在直线交于点,当四边形为菱形时,求长.18(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM=B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.19(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面ABCD,BAD60,AB=PA4,E是PA的中点,AC,BD交于点O.(1)求证:OE平面PBC;(2)求三棱锥EPBD的体积.20(12分)随着时代的发展,A城市的竞争力、影响力日益卓著,这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展,目前A城市的常住人口大约为1300万.近日,某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷,参与调查的对象年龄层次在2544岁之间.收集到的相关数据如下:来A城市发展的理由人数合计自然环境1.森林城市,空气清新2003002.降水充足,气候怡人100人文环境3.城市服务到位1507004.创业氛围好3005.开放且包容250合计10001000(1)根据以上数据,预测400万2544岁年龄的人中,选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人;(2)从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中,利用分层抽样的方法抽取6人,从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市,空气清新”的概率;(3)在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性;在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性;请填写下面列联表,并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关?自然环境人文环境合计男女合计附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821(12分)已知曲线,直线:(为参数).(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值22(10分)如图,在直三棱柱中,分别是中点,且,.求证:平面;求点到平面的距离.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.2、D【解析】根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,所以,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.3、B【解析】计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.【详解】可化为,焦点坐标为,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线的焦点,属于简单题.4、B【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误5、A【解析】直线的方程为,令和双曲线方程联立,再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【详解】由题意可知直线的方程为,不妨设.则,且将代入双曲线方程中,得到设则由,可得,故则,解得则所以双曲线离心率故选:A【点睛】此题考查双曲线和直线相交问题,联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解,属于一般性题目.6、D【解析】可过点S作SFOE,交AB于点F,并连接CF,从而可得出CSF(或补角)为异面直线SC与OE所成的角,根据条件即可求出,这样即可得出tanCSF的值.【详解】如图,过点S作SFOE,交AB于点F,连接CF,则CSF(或补角)即为异面直线SC与OE所成的角,又OB3,SOOC,SOOC3,;SOOF,SO3,OF1,;OCOF,OC3,OF1,等腰SCF中,.故选:D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法,直角三角形的边角的关系,平行线分线段成比例的定理,考查了计算能力,属于基础题.7、A【解析】设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为, M所在直线为,不妨设,MF的中点坐标为.代入方程可得,(负值舍去).故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.8、C【解析】化简复数,分子分母同时乘以,进而求得复数,再求出,由此得到虚部.【详解】,所以的虚部为.故选:C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算,考查共轭复数的虚部,属于基础题.9、A【解析】根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.【详解】当为奇数时,则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,当为偶数时,则数列中每个偶数项加是以为首项,以为公比的等比数列.所以.故选:A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.10、A【解析】算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.11、D【解析】由题意,得出六棱锥为正六棱锥,求得,再结合球的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】由题意,六棱锥底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,可得此六棱锥为正六棱锥,又由,所以, 在直角中,因为,所以,设外接球的半径为,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.12、C【解析】分别以直线为轴,直线为轴建立平面直角坐标系,设,根据,可求,而,化简求解.【详解】解:建立以为原点,以直线为轴,直线为轴的平面直角坐标系.设,则,由,即,得.所以=,所以当时,的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的,利用题意,得出不等式组,求得结果.【详解】观察式子可知,故答案为:4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.14、【解析】根据题意作出图象,利用三垂线定理找出二面角的平面角,再设出的长,即可求出三棱锥的高,然后利用利用基本不等式即可确定三棱锥的体积最大值,从而得出各棱的长度,最后根据球的几何性质,利用球心距,半径,底面半径之间的关系即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】如图所示:过点作面,垂足为,过点作交于点,连接.则为二面角的平面角的补角,即有.易证面,而三角形
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