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1 1 1 1 1 2 2 1 D E1 二次函数与几何综合二次函数与三角形综合【例 1】.(2012 武汉中考)如图 1,点 A 为抛物线 C :y= x22 的顶点,点 B 的坐标为(1,0)直线 AB 交抛物线 C 于另一点 C(1)求点 C 的坐标;(2)如图 1,平行于 y 轴的直线 x=3 交直线 AB 于点 D,交抛物线 C 于点 E,平行于 y 轴 的直线 x=a 交直线 AB 于 F,交抛物线 C 于 G,若 FG:DE=4:3,求 a 的值; (3)如图 2,将抛物线 C 向下平移 m(m0)个单位得到抛物线 C ,且抛物线 C 的 顶点为点 P,交 x 轴于点 M,交射线 BC 于点 NNQx 轴于点 Q,当 NP 平分MNQ 时,求 m 的值考点:二次函数综合题。解答:解:(1)当 x=0 时,y=2;A(0,2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,则:,解得直线 AB 解析式为 y=2x2点 C 为直线 y=2x2 与抛物线 x22 的交点,则点 C 的横、纵坐标满足:,解得 、 (舍)点 C 的坐标为(4,6)(2)直线 x=3 分别交直线 AB 和抛物线 C 于 DE 两点y =4,y = ,DE= FG=DE=4:3,FG=2直线 x=a 分别交直线 AB 和抛物线 C 于 F、G 两点F G 3 2 1 2 y =2a2,y = a22FG=|2a a2|=2,解得 ,a =22 (3)设直线 MN 交 y 轴于 T,过点 N 做 NHy 轴于点 H;设点 M 的坐标为(t,0),抛物线 C 的解析式为 y= x22m; 0= t22m,2m= t2y= x2 t2,点 P 坐标为(0, t 2)点 N 是直线 AB 与抛物线 x2 t2的交点,则点 N 的横、纵坐标满足:,解得 、 (舍) N(2t,22t)NQ=22t,MQ=22t,MQ=NQ,MNQ=45MOT、NHT 均为等腰直角三角形,MO=OT,HT=HNOT=4,NT= ,NH=PN 平分MNQ, PT=NT,t+ t2=(2t), t =2,t =2(舍)t22m= t2= (2)2,m=2【 例 2 】 . ( 20 11 武 汉 中 考 ) 如 图 1 , 抛 物 线 y= ax 2 +b x+3 经 过 A ( -3 , 0 ), B ( -1 , 0 ) 两 点 .( 1 ) 求 抛 物 线 的 解 析 式 ;( 2 )设 抛 物 线 的 顶 点 为 M ,直 线 y= - 2 x + 9 与 y 轴 交 于 点 C ,与 直 线 O M 交 于 点 D. 现 将 抛 物 线 平 移 , 保 持 顶 点 在 直 线 OD 上 . 若 平 移 的 抛 物 线 与 射线 CD( 含 端 点 C )只 有 一 个 公 共 点 ,求 它 的 顶 点 横 坐 标 的 值 或 取 值 范 围 ;( 3 ) 如 图 2 , 将 抛 物 线 平 移 , 当 顶 点 至 原 点 时 , 过 Q ( 0 , 3 ) 作 不 平行于 x 轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 E ,F 两 点 . 问 在 y 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在 点 P ,使 PE F 的 内 心 在 y 轴 上 . 若 存 在 , 求 出 点 P 的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明理 由 .2 2 2 1 3 1 b = 1 2 1 2 2 2 2Q A B x2 2 2 22 2 2 2 2 2E(m,-2 2 2 【例 3】. (2010 武汉中考)如图,拋物线 y =ax -2ax+b 经过 A(-11,0),C(2,32)两点,与 x 轴交于另一点 B;(1) 求此拋物线的解析式;(2) 若拋物线的顶点为 M,点 P 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合),点 Q 在线段 MB 上 移动,且 MPQ=45,设线段 OP=x,MQ= y ,求 y 与 x 的函数关系式,并直接写22 2出自变量 x 的取值范围;(3) 在同一平面直角坐标系中,两条直线 x=m,x=n 分别与拋物线交于点E,G,与(2)中 的函数图像交于点 F,H。问四边形 EFHG 能否为平行四边形?若能,求m,n 之间的 数量关系;若不能,请说明理由。y25. 解:(1) 拋物线 y =ax -2ax+b经过 A(-1,0),a +2 a +b =0C(0, )两点, 3 ,a= -2 , 2 23 1 3 b= ,拋物线的解析式为y = - x2+x+ 。AO PMQB x2 2 21 3(2) 作 MNAB,垂足为 N。由 y = - x +x+ 易得 M(1,2),2 2yMN(1,0),A(-1,0),B(3,0),AB=4,MN=BN=2,MB=2 2 ,MBN=45。根据勾股定理有 BM -BN =PM -PN 。(2 2 ) -2 =PM = -(1-x) j,又MPQ=45=MBP,O P NMPQMBP PM2=MQMB= y 2 2 k。21 5 1 5由j、k得y = x -x+ 。0x3,y 与 x 的函数关系式为 y = x -x+ (0x3)。22 2 2 2(3) 四边形 EFHG 可以为平行四边形,m、n 之间的数量关系是1 3m+n=2(0m2,且 m1)。点 E、G 是抛物线 y = - x2 +x+12 2分别与直线 x=m,x=n 的交点,点 E、G 坐标为1 3 1 3m +m+ ),G(n,- n +n+ )。同理,点 F、H 坐标2 2 2 21 5 1 5为 F(m, m2 -m+ ),H(n, n2-n+ )。yOF HE GxEF=2 2 2 21 m2 -m+5 -(-1 m2 +m+3 )=m2 -2m+1,GH= 1 n2 -n+5 -(-1 n2+n+3 2 2 2 2 2 2 2 2)=n -2n+1。四边形 EFHG 是平行四边形,EF=GH。m2-2m+1=n2-2n+1,(m+n-2)(m-n)=0。由题意知 mn,m+n=2 (0m2,且 m1)。因此,四边形 EFHG 可以为平行四边形,m、n 之间的数量关系是 m+n=2 (0m2,且 m1)。C 2 【例 4】.(2009 武汉中考)如图,抛物线y =ax2+bx -4a经过A( -1,0)、C (0,4)两点,与x轴交于另一点B(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m +1)在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标;(3 )在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 坐标DBP =45,求点 P 的 y25解:(1)Q抛物线y =ax 2 +bx -4a经过A(-1,0),C (0,4)两点,a -b -4a =0, -4a=4.解得a =-1, b =3.AOBx抛物线的解析式为y =-x2+3x +4(2)Q点D(m,m +1)在抛物线上,m +1 =-m +3m +4,y即m2 -2m -3 =0,m =-1或m =3Q 点 D 在第一象限,点 D 的坐标为 (3,CD4)由(1)知OA =OB,CBA =45设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E Q C (0,4) ,CD AB ,且 CD =3 ,AEOBxECB =DCB =45, E点在y轴上,且CE =CD =3 OE =1 , E (0,1)y即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1)(3)方法一:作 PF AB 于 F , DE BC 于 E 由(1)有: OB =OC =4,OBC =45, Q DBP =45,CBD =PBACPEDQ C (0,4),D (3,4),CD OB且CD =3DCE =CBO =45,3 2 DE =CE =2AF OBx 3 122 y 1 2 QOB =OC =4 , BC =4 2 , BE =BC -CE =5 22,tan PBF =tan CBD =DE=3BE 5设PF =3t,则BF =5t ,OF =5t -4, P ( -5t +4,3t)Q P点在抛物线上, 3t =-(-5t +4)2 +3(-5t +4) +4,t =0(舍去)或t =22, P -2 6625 , 5 25方法二:过点D作BD的垂线交直线PB于点Q,过点D作DH x轴于H过Q点作QG DH于GyQ PBD =45,QD=DBQDG +BDH =90,QC
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