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第8讲圆锥曲线的热点问题基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点,则k的值为 ()A1B1或3C0D1或0解析由得k2x2(4k8)x40,若k0,则y2,若k0,若0,即6464k0,解得k1,因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点,则k0或1.答案D2(2014济南模拟)若双曲线1(a0,b0)与直线yx无交点,则离心率e的取值范围是 ()A(1,2)B(1,2C(1,)D(1,解析因为双曲线的渐近线为yx,要使直线yx与双曲线无交点,则直线yx应在两渐近线之间,所以有,即ba,所以b23a2,c2a23a2,即c24a2,e24,所以10,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2()A12B42C52D32解析如图,设|AF1|m,则|BF1|m,|AF2|m2a,|BF2|m2a,|AB|AF2|BF2|m2am2am,得m2a,又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2,可得m2(m2a) 24c2,即得(208)a24c2,e252,故应选C.答案C二、填空题6(2014东北三省联考)已知椭圆C:1(ab0),F(,0)为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为_解析由题意,得解得椭圆C的方程为1.答案17已知双曲线方程是x21,过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1,P2两点,并使P(2,1)为P1P2的中点,则此直线方程是_解析设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由x1,x1,得k4,从而所求方程为4xy70.将此直线方程与双曲线方程联立得14x256x510,0,故此直线满足条件答案4xy708(2014延安模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分别交于A,B两点,则的值是_解析设A(x1,y1),B (x2,y2),且x1x2,易知直线AB的方程为yx p,代入抛物线方程y22px,可得3x25pxp20,所以x1x2p,x1x2,可得x1p,x2,可得3.答案3三、解答题9椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P,Q两点,且OPOQ(O为原点)(1)求证:等于定值;(2)若椭圆的离心率e,求椭圆长轴长的取值范围(1)证明由消去y,得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0,直线与椭圆有两个交点,0,即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0,ab0,a2b21.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1 、x2是方程的两实根x1x2,x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20,又y11x1,y21x2,得2x1x2(x1x2)10.式代入式化简得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的结论,将a表示为e的函数由eb2a2a2e2,代入式,得2e22a2(1e2)0.a2.e,a2.a0,a.长轴长的取值范围是,10(2014临川模拟)已知椭圆1(a0,b0)的左焦点F为圆x2y22x0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为1. (1)求椭圆方程;(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A,B,点M,证明:为定值解(1)化圆的标准方程为(x1)2y21,则圆心为(1,0),半径r1,所以椭圆的半焦距c1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为1,所以ac1,即a.故所求椭圆的方程为y21.(2)当直线l与x轴垂直时,l的方程为x1.可求得A,B.此时,.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为yk(x1),由得(12k2)x24k2x2k220,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.因为y1y2x1x2(x1x2)2k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k22.所以,为定值,且定值为.能力提升题组(建议用时:25分钟)一、选择题1(2014石家庄模拟)若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM、BM与两坐标轴均不平行,kAM,kBM分别表示直线AM,BM的斜率,则kAMkBM()ABCD解析法一(直接法):设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(x1,y1),kAMkBM.法二(特殊值法):因为四个选项为定值,取A(a,0),B(a,0),M(0,b),可得kAMkBM.答案B2(2014兰州诊断)若直线mxny4和O:x2y24没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个B2C1D0解析直线mxny4和O:x2y24没有交点,2,m2n24,1,点(m,n)在椭圆1的内部,过点(m,n)的直线与椭圆1的交点有2个,故选B.答案B二、填空题3(2014长安一中模拟)若C(,0),D(,0),M是椭圆y21上的动点,则的最小值为_解析由椭圆y21知c2413,c,C、D是该椭圆的两焦点,令|MC|r1,|MD|r2,则r1r22a4,又r1r224,1.当且仅当r1r2时,上式等号成立故的最小值为1.答案1三、解答题4(2014合肥一模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2,由四个点M(a,b)、N(a,b)、F2和F1组成了一个高为,面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程;(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A,B,求F2AB面积的最大值解(1)由条件,得b,且3,所以ac3.又a2c23,解得a2,c1.所以椭圆的方程1.(2)显然,直线的斜率不能为0,设直线方程为xmy1,直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程消去x,得(3m24)y26my90,因为直线过椭圆内的点,无论m为何值,直线和椭圆总相交y1y2,y1y2.SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2|1244,令tm211,设yt,易知t时,函数单调递减,t函数单调递增,所以当tm211,即m0时,ymin.SF2AB取最大值3.
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