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第7讲 归一问题与归总问题在解答某些应用题时,常常需要先找出“单一量”,然后以这个“单一量”为标准,根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题,称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。例1 一种钢轨,4根共重1900千克,现在有95000千克钢,可以制造这种钢轨多少根?(损耗忽略不计)分析:以一根钢轨的重量为单一量。(1)一根钢轨重多少千克?19004475(千克)。(2)95000千克能制造多少根钢轨?95000475200(根)。解:95000(19004)200(根)。答:可以制造200根钢轨。例2 王家养了5头奶牛,7天产牛奶630千克,照这样计算,8头奶牛15天可产牛奶多少千克?分析:以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。(1)1头奶牛1天产奶多少千克?6305718(千克)。(2)8头奶牛15天可产牛奶多少千克?188152160(千克)。解:(63057)815=2160(千克)。答:可产牛奶2160千克。例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克,8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间?分析与解:以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。(1)1台磨面机1时磨面粉多少千克?240032.5=320(千克)。(2)8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时?256003208=10(时)。综合列式为25600(240032.5)8=10(时)。例4 4辆大卡车运沙土,7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨,要求5趟运完。问:需要增加同样的卡车多少辆?分析与解:以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。(1)1辆卡车1趟运沙土多少吨?33647=12(吨)。(2)5趟运走420吨沙土需卡车多少辆?4201257(辆)。(3)需要增加多少辆卡车?7-43(辆)。综合列式为420(33647)5-43(辆)。与归一问题类似的是归总问题,归一问题是找出“单一量”,而归总问题是找出“总量”,再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。例5 一项工程,8个人工作15时可以完成,如果12个人工作,那么多少小时可以完成?分析:(1)工程总量相当于1个人工作多少小时?158120(时)。(2)12个人完成这项工程需要多少小时?1201210(时)。解:1581210(时)。答:12人需10时完成。例6 一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,5时到达。若要4时到达,则每小时需要多行多少千米?分析:从甲地到乙地的路程是一定的,以路程为总量。(1)从甲地到乙地的路程是多少千米?605=300(千米)。(2)4时到达,每小时需要行多少千米?300475(千米)。(3)每小时多行多少千米?756015(千米)。解:(605)46015(千米)。答:每小时需要多行15千米。例7 修一条公路,原计划60人工作,80天完成。现在工作20天后,又增加了30人,这样剩下的部分再用多少天可以完成?分析:(1)修这条公路共需要多少个劳动日(总量)?60804800(劳动日)。(2)60人工作20天后,还剩下多少劳动日?4800-6020=3600(劳动日)。(3)剩下的工程增加30人后还需多少天完成?3600(6030)=40(天)。解:(6080-6020)(6030)40(天)。答:再用40天可以完成。练习1112台拖拉机4时耕地20公顷,照这样速度,5台拖拉机6时可耕地多少公顷?24台织布机5时可以织布2600米,24台织布机几小时才能织布24960米?3一种幻灯机,5秒钟可以放映80张片子。问:48秒钟可以放映多少张片子?43台抽水机8时灌溉水田48公顷,照这样的速度,5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷?5平整一块土地,原计划8人平整,每天工作7.5时,6天可以完成任务。由于急需播种,要求5天完成,并且增加1人。问:每天要工作几小时?6食堂管理员去农贸市场买鸡蛋,原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了,他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问:鸡蛋价格下调后是每千克多少元?7锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后,由于进行了技术改造,每天能节约0.9吨煤。问:这些煤共可以供暖多少天?练习71.75公顷。 2.8时。 3.768张。4.60公顷。 5.8时。 6.2.80元。7.140天。第8讲 年龄问题年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。年龄问题的主要特点是:二人年龄的差保持不变,它不随岁月的流逝而改变;二人的年龄随着岁月的变化,将增或减同一个自然数;二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化,年龄增大,倍数变小。根据题目的条件,我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。例1 儿子今年10岁,5年前母亲的年龄是他的6倍,母亲今年多少岁?分析与解:儿子今年10岁,5年前的年龄为5岁,那么5年前母亲的年龄为5630(岁),因此母亲今年是305=35(岁)。例2 今年爸爸48岁,儿子20岁,几年前爸爸的年龄是儿子的5倍?分析与解:今年爸爸与儿子的年龄差为“4820”岁,因为二人的年龄差不随时间的变化而改变,所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时,两人的年龄差还是这个数,这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时,儿子的年龄是(4820)(51)7(岁)。由20713(岁),推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。例3 兄弟二人的年龄相差5岁,兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问:兄、弟二人今年各多少岁?分析与解:根据题意,作示意图如下:由上图可以看出,兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大53412(岁),由“差倍问题”解得,弟4年前的年龄为(534)(31)6(岁)。由此得到弟今年6410(岁),兄今年10515(岁)。例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁,哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同,那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍,请问哥哥今年多少岁?分析与解:在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年,若把弟弟岁数看成一份,那么哥哥的岁数比弟弟多一份,哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等,所以今年弟弟岁数为2份,今年哥哥岁数为21=3(份)(见下页图)。由“和倍问题”解得,哥哥今年的岁数为55(3+2)3=33(岁)。例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等,哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁,请问二人今年各多少岁?分析与解:由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“45”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”,可知兄妹二人今年的年龄和为“9728”岁。由“和差问题”解得,兄(9728)(45)248(岁),妹(9728)-(45)2=39(岁)。例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年,父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问:父亲出生在哪一年?分析与解:如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和,则父亲1994年的年龄要用4段线来表示(见下页图)。父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁,而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2612(岁),它是父亲年龄的一半,也就是2段线再加3岁。由1段12岁=2段3岁,推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9436(岁),他出生于1994361958(年)。例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍,20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问:父子今年各多少岁?解法一:假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍,那么每过一年儿子增加一岁,父亲就要增加4岁。这样,20年后儿子增加20岁,父亲就要增加80岁,比儿子多增加了802060(岁)。事实上,20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍,根据刚才的假设,多增加的60岁,正好相当于20年后儿子年龄的(42)2倍,因此,今年儿子的年龄为(20420)(42)2010(岁),父亲今年的年龄为10440(岁)。解法二:如果用1段线表示儿子今年的年龄,那么父亲今年的年龄要用4段线来表示(见下图)。20年后,父亲的年龄应是4段线再加上20岁,而儿子的年龄应是1段线再加上20岁,是父亲年龄的一半,也就是2段线再加上10岁。由1段20=2段10,求得1段是10岁,即儿子今年10岁,从而父亲今年40岁。例8 今年爷爷78岁,长孙27岁,次孙23岁,三孙16岁。问:几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和?分析:今年三个孙子的年龄和为272316=66(岁),爷爷比三个孙子的年龄和多786612(岁)。每过一年,爷爷增加一岁,而三个孙子的年龄和却要增加1113(岁),比爷爷多增加312(岁)。因而只需求出12里面有几个2即可。解:78(272316)(1111)6(年)。答:6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。练习121父亲比儿子大30岁,明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍,那么今年儿子几岁?2王梅比舅舅小19岁,舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问:他们二人各几岁?3小明今年9岁,父亲39岁,再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍?4父亲年龄是女儿的4倍,三年前父女年龄之和是49岁。问:父女两人现在各多少岁?5一家三口人,三人年龄之和是74岁,妈妈比爸爸小2岁,妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问:三人各是多少岁?6今年老师46岁,学生16岁,几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等?7已知祖孙三人,祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同,祖父和孙子年龄之和为82岁,明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问:祖孙三人各多少岁?8小乐问刘老师今年有多少岁,刘老师说:“当我像你这么大时,你才3岁;当你像我这么大时,我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗?练习81.14岁。 2.9岁;28岁。3.21年。 4.父亲44岁,女儿11岁。5.爸爸34岁,妈妈32岁,儿子8岁。6.4年。7.祖父69岁,父亲41岁,孙子13岁。提示:父亲的年龄等于祖父与孙子的平均年龄,为822=41(岁)。明年祖孙年龄之和为822=84(岁),明年孙子年龄为84(51)=14(岁)。所以今年孙子13岁。8.29岁。
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