新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题5.5 函数yAsin(x)的图象及其应用【考纲解读与核心素养】1.了解函数 yA sin (x) 的物理意义，掌握 yA sin (x) 的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：（1） “五点法”作图；（2）函数图象的变换；（3）三角函数模型的应用问题.（4）往往将恒等变换与图象和性质结合考查4.备考重点：（1）掌握函数图象的变换；（2）掌握三角函数模型的应用.【知识清单】知识点1求三角函数解析式（1）的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：知识点2三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图象;把函数向右平移个单位，得到函数的图象;+网】把函数向上平移个单位，得到函数的图象;把函数向下平移个单位，得到函数的图象.伸缩变换:把函数图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图象;把函数图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图象.2. 由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.知识点3函数的图象与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是.【典例剖析】高频考点一 求三角函数解析式【典例1】（2020湖南娄星娄底一中高一期末）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）ABCD【答案】A【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为故选：A【典例2】（2020山东五莲高三月考）函数的部分图象如图所示，则_；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则_.【答案】 【解析】根据函数的图象可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数的图象，因为函数是偶函数，所以，所以，因为，所以，.故答案为：；.【规律方法】1.由的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，(1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定(2)：因为T，故往往通过求周期T来确定.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T(3)：从“五点法”中的第一个点(，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象曲线的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象曲线的“谷点”)为x；“第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为x2在用以上方法确定的值时，还要注意题目中给出的的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内(4)A，三个量中初相的确定是一个难点，除使用初始点(，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解2.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.【变式探究】1.（2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考）函数 的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据函数的部分图象知，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.2.（2020江苏南通高三其他）已知函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式_.【答案】【解析】因为函数的最小正周期是，所以函数的图象向右平移个单位长度后得到，因为关于原点对称，所以因此故答案为：【总结提升】根据函数的图象确定函数中的参数的主要方法：（1）主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）主要由最小正周期确定，而的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）主要是由图象的特殊点的坐标确定高频考点二 三角函数图象的变换【典例3】（2018浙江镇海中学）函数的部分图象如图所示，则_，为了得到的图象，需将函数的图象最少向左平移_个单位长度【答案】 【解析】由图知，所以，所以把点代入，得，所以即，又，所以所以因为，所以要得到函数的图象需将函数的图象最少向左平移个单位长度故答案为：；【典例4】（2020浙江高一课时练习）已知函数的最小正周期为，则将的图象向_平移_个单位长度可得到函数的图象【答案】左 【解析】由于，则，因此又因为，假设将的图象平移个单位，则，故，得，所以只需将函数的图象向左平移个单位长度就得到函数的图象故答案为：左，.【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换如本例一般地，函数f(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称【变式探究】1.（2020浙江高一单元测试）如图是函数在区间上的图象为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变C把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=k，取=，得y=sin（2x+），向左平移，得然后各点的横坐标缩短到原来的，得故A正确各点的横坐标缩短到原来的，得然后向左平移个单位，得故C正确故选：AC2.（2019江苏高三开学考试）将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为_【答案】【解析】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数的图象.因此变换后所得图象对应的函数解析式为故答案为：.【特别提醒】1.图象的左右平移是针对x而言的，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“x”而言的2图象的伸缩变换即周期变换也是针对x而言的，即只是自变量x的系数发生改变，变为原来的倍，而不涉及3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|个单位长度，而后者平移了|个单位长度，这是因为由ysinx的图象变换为ysin(x)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|个单位长度，即xx，xx高频考点三 三角函数模型的应用【典例5】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：036912151821241.5241.5061.42.41.60.61.5（）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从， ，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（）为保证队员安全，规定在一天中的518时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1) 选做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全.【解析】（）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：- 依题意，选做为函数模型， （）由（）知： 令，即 又 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题【变式探究】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元则7月份的出厂价格为 元【答案】6000【解析】作出函数简图如图：三角函数模型为yAsin(x)B，由题意知：A2 000，B7 000，T2(93)12，.高频考点四 函数 的图象与性质的综合应用【典例6】（2020浙江高三新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解 专题练习）【多选题】先将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列说法中正确的是（