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由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD过P、D、B三点作Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交Q于F,连结EF、BF(1)求直线AB的函数解析式;(2)当点P在线段AB(不包括A、B两点)上时求证:BDEADP;设DEx,DFy,请求出y关于x的函数解析式;(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为21?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由 图1 动感体验请打开几何画板文件名“13宁波26”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,DEF保持等腰直角三角形的形状,y是x的一次函数观察BDBF的度量值,可以体验到,BDBF可以等于2,也可以等于0.5请打开超级画板文件名“13宁波26”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,DEF保持等腰直角三角形的形状观察BDBF的度量值,可以体验到,BDBF可以等于2,也可以等于0.5答案(1)直线AB的函数解析式为yx4(2)如图2,BDECDEADP;如图3,ADPDEPDPE,如图4,BDEDBPA,因为DEPDBP,所以DPEA45所以DFEDPE45因此DEF是等腰直角三角形于是得到图2 图3 图4(3)如图5,当BDBF21时,P(2,2)思路如下:由DMBBNF,知设OD2m,FNm,由DEEF,可得2m24m解得因此再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)如图6,当BDBF12时,P(8,4)思路同上图5 图6例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在RtABC中,C90,AC6,B的半径长为1,B交边CB于点P,点O是边AB上的动点(1)如图1,将B绕点P旋转180得到M,请判断M与直线AB的位置关系;(2)如图2,在(1)的条件下,当OMP是等腰三角形时,求OA的长; (3)如图3,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切,设NBy,OAx,求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”,拖动点O在AB上运动,观察OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以体验到,点O和点P可以落在对边的垂直平分线上,点M不能请打开超级画板文件名“12徐汇25”, 分别点击“等腰”按钮的左部和中部,观察三个角度的大小,可得两种等腰的情形点击“相切”按钮,可得y关于x的函数关系思路点拨1B的三角比反复用到,注意对应关系,防止错乱2分三种情况探究等腰OMP,各种情况都有各自特殊的位置关系,用几何说理的方法比较简单3探求y关于x的函数关系式,作OBN的边OB上的高,把OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答(1) 在RtABC中,AC6,所以AB10,BC8过点M作MDAB,垂足为D在RtBMD中,BM2,所以因此MDMP,M与直线AB相离 图4(2)如图4,MOMDMP,因此不存在MOMP的情况如图5,当PMPO时,又因为PBPO,因此BOM是直角三角形在RtBOM中,BM2,所以此时如图6,当OMOP时,设底边MP对应的高为OE在RtBOE中,BE,所以此时图5 图6(3)如图7,过点N作NFAB,垂足为F联结ON当两圆外切时,半径和等于圆心距,所以ONxy在RtBNF中,BNy,所以,在RtONF中,由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理,得定义域为0x5图7 图8考点伸展第(2)题也可以这样思考:如图8,在RtBMF中,BM2,在RtOMF中,OF,所以在RtBPQ中,BP1,在RtOPQ中,OF,所以当MOMP1时,方程没有实数根当POPM1时,解方程,可得当OMOP时,解方程,可得例3 2012年连云港市中考第26题如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行;(2)当t为何值时,OMNOBA?(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长设sMN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值 图1动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧时,MN与AB不平行当点A落在上时,MNOBAO,OMNOBA请打开超级画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧时,MN与AB不平行当点A落在上时,MNOBAO,OMNOBAs与t之间的函数关系式呈抛物线图象,当t1时,甲、乙两人的最小距离为12千米答案 (1)当M、N都在O右侧时,所以因此MN与AB不平行(2)如图2,当M、N都在O右侧时,OMNB,不可能OMNOBA如图3,当M在O左侧、N在O右侧时,MONBOA,不可能OMNOBA如图4,当M、N都在O左侧时,如果OMNOBA,那么所以解得t2图2 图3 图4(3)如图2,如图3,如图4,综合、,s所以当t1时,甲、乙两人的最小距离为12千米例4 2011年上海市中考第25题在RtABC中,ACB90,BC30,AB50点P是AB边上任意一点,直线PEAB,与边AC或BC相交于E点M在线段AP上,点N在线段BP上,EMEN,(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设APx,BNy,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;(3)若AMEENB(AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长图1 图2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,从图象中可以看到,y是x的一次函数观察图形和角度的度量值,可以体验到,点E在AC和BC上,各存在一个时刻,AMEENB请打开超级画板文件名“11上海25”,拖动点P在AB上运动,当点E与点C重合时, 点E在边AC上时,y是x的一次函数当AP=42时,三角形相似,且满足顶点对应。 思路点拨1本题不难找到解题思路,难在运算相当繁琐反复解直角三角形,注意对应关系2备用图暗示了第(3)题要分类讨论,点E在BC上的图形画在备用图中3第(3)题当E在BC上时,重新设BPm可以使得运算简便一些满分解答(1)在RtABC中,BC30,AB50,所以AC40,在RtACP中,在RtCMP中,因为,所以(2)在RtAEP中,在RtEMP中,因为,所以因此,已知EMEN,PEAB,所以MPNP于是定义域为0x32(3)如图3,当E在AC上时,由,得解得xAP22如图4,当E在BC上时,设BPm,那么AP50m在RtBEP中,在RtEMP中,所以,这时由,得解得mBP8所以AP50m42图3 图4 图5考点伸展如果第(3)题没有条件“AME的顶点A、M、E分别与ENB的顶点E、N、B对应”,那么还存在图5所示的一种情况,EAMEBN,此时PE垂直平分AB,AP25
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