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第一课时椭圆的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1(2019昆明月考)如果椭圆1(k8)的离心率为e,则k()A4 B4或C D4或解析:若椭圆的焦点在x轴上,则,解得k4;若椭圆的焦点在y轴上,则,解得k,所以k4或k,故选B.答案:B2椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点(3,0),则其标准方程为()A.y21 B1C.y21或x21 D以上均不对解析:当焦点在x轴上时,a3,b1,其方程为y21;当焦点在y轴上时,b3,a9,其方程为1.所以A、B、C均不对,故选D.答案:D3一个椭圆的半焦距为2,离心率e,那么它的短轴长是()A3 BC2 D6解析:由题意知,c2,e,a3.b ,短轴长2b2.故选C.答案:C4(2019衡阳八中期中)设直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A. BC. D解析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,直线过(c,0),(0,b),则直线l的方程为1,即bxcybc0,则2b,即,e,故选A.答案:A5椭圆1与1(0kb0),过椭圆的右焦点F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,若0,则椭圆的离心率e等于_解析:当xc时,y2,则y.设A,由0,知OAOB,|AF|OF|,即c.acb2a2c2,e2e10.又0eb0)的左、右顶点,点P在E上,在APB中,tan A,tan B,则E的离心率为_解析:设P(x,y),则1,A(a,0),B(a,0),tan A,tan B,1,b,ca,e.答案:三、解答题10在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2y24x20的圆心,求椭圆E的方程解:由x2y24x20,得(x2)2y22.故圆C的圆心为点(2,0),则点(2,0)为椭圆E的一个焦点,从而可设椭圆E的方程为1(ab0),其焦点为(2,0)e,a4.b2a2c216412,故椭圆E的方程为1.11椭圆1(ab0)的一个焦点与短轴的两顶点的连线互相垂直,且此焦点和长轴上较近的顶点距离为42,求此椭圆方程解:解法一:如图,可知A(0,b),B(0,b),F2(c,0)(c,b),(c,b)AF2BF2,0,c2b20,b2c2.由题意知ac42,得解得a248,b224.所求椭圆的方程为1.解法二:如解法一中图,由题设知AF2BF2,AF2O45,|OA|OF2|,即bc.a2b2c22c2,ac.又ac42,从而得(1)c2(1),c2,b2c224,a248.所求椭圆的方程为1.12如图,已知P是椭圆1(ab0)上且位于第一象限的一点,F是椭圆的右焦点,O是椭圆中心,B是椭圆的上顶点,H是直线x(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点,若PFOF,HBOP,试求椭圆的离心率e.解:依题意知,H,F(c,0),B(0,b)设P(x,y)(x0,y0),将xc,代入椭圆方程得y,P.HBOP,kHBkOP,即.abc2,ee21.e4e210.0eb0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围解:(1)连接PF1,由POF2为等边三角形可知,在F1PF2中,F1PF290,|PF2|c,|PF1|c,于是2a|PF1|PF2|(1)c,故C的离心率是e1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在当且仅当|y|2c16,1,1,即c|y|16,x2y2c2,1,由及a2b2c2,得y2,又由知,y2,得b4.由得,x2(c2b2),所以c2b2,从而a2b2c22b232,故a4.当b4,a4时,存在满足条件的点P.所以b4,a的取值范围为4,)6
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