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欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!2006年高三一轮复习讲座一 - 集合与简易逻辑 主讲教师:王思俭 (苏州中学)二、复习要求 1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;3、 理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;4、 理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系; 5、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。三、学习指导 1、集合的概念:(1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性;(2) 集合的分类: 按元素个数分:有限集,无限集; 按元素特征分;数集,点集。如数集y|y=x2,表示非负实数集,点集(x,y)|y=x2表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;(3) 集合的表示法: 列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+=0,1,2,3,;描述法。2、两类关系:(1) 元素与集合的关系,用或表示; (2)集合与集合的关系,用,=表示,当AB时,称A是B的子集;当AB时,称A是B的真子集。3、集合运算 (1)交,并,补,定义:AB=x|xA且xB,AB=x|xA,或xB,CUA=x|xU,且xA,集合U表示全集;(2) 运算律,如A(BC)=(AB)(AC),CU(AB)=(CUA)(CUB),CU(AB)=(CUA)(CUB)等。 4、命题:(1) 命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;(2) 复合命题的形式:p且q,p或q,非p; (3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。 (3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。5、 充分条件与必要条件 (1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件; (2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时,p是q的充分条件。BA时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件;(3) 当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。四、典型例题 例1、已知集合M=y|y=x2+1,xR,N=y|y=x+1,xR,求MN。解题思路分析:在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征。M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1,xR=y|y1,N=y|y=x+1,xR=y|yR MN=M=y|y1说明:实际上,从函数角度看,本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地,集合y|y=f(x),xA应看成是函数y=f(x)的值域,通过求函数值域化简集合。此集合与集合(x,y)|y=x2+1,xR是有本质差异的,后者是点集,表示抛物线y=x2+1上的所有点,属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关,例y|y1=x|x1。例2、已知集合A=x|x2-3x+2=0,B+x|x2-mx+2=0,且AB=B,求实数m范围。解题思路分析:化简条件得A=1,2,AB=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=,B=1或2,B=1,2当B=时,=m2-80 当B=1或2时,m无解当B=1,2时, m=3综上所述,m=3或说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B=1或2时,不能遗漏=0。例3、用反证法证明:已知x、yR,x+y2,求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析:假设x1且y1,由不等式同向相加的性质x+y2与已知x+y2矛盾 假设不成立 x、y中至少有一个大于1说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。解题思路分析:利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 DCBA DA,D是A的充分不必要条件说明:符号“”、“”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。例5、求直线l:ax-y+b=0经过两直线l1:2x-2y-3=0和l2:3x-5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析:从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。由 得l1,l2交点P() l过点P 17a+4b=11充分性:设a,b满足17a+4b=11 代入l方程:整理得:此方程表明,直线l恒过两直线的交点()而此点为l1与l2的交点 充分性得证 综上所述,命题为真说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。同步练习(一) 选择题1、 设M=x|x2+x+2=0,a=lg(lg10),则a与M的关系是A、a=M B、Ma C、aM D、Ma2、 已知全集U=R,A=x|x-a|2,B=x|x-1|3,且AB=,则a的取值范围是A、 0,2 B、(-2,2) C、(0,2 D、(0,2)3、 已知集合M=x|x=a2-3a+2,aR,N、x|x=b2-b,bR,则M,N的关系是A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 4、设集合A=x|xZ且-10x-1,B=x|xZ,且|x|5,则AB中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、155、集合M=1,2,3,4,5的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、“”是coscos”的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8、集合A=x|x=3k-2,kZ,B=y|y=3l+1,lZ,S=y|y=6m+1,mZ之间的关系是A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0m1或m0 B、0m1C、m1 D、m110、已知p:方程x2+ax+b=0有且仅有整数解,q:a,b是整数,则p是q的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件充要条件 D、既不充分又不必要条件(二) 填空题11、 已知M=,N=x|,则MN=_。 12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是_人。13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是_。14、 命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为_。15、 非空集合p满足下列两个条件:(1)p1,2,3,4,5,(2)若元素ap,则6-ap,则集合p个数是_。(三) 解答题16、 设集合A=(x,y)|y=ax+1,B=(x,y)|y=|x|,若AB是单元素集合,求a取值范围。17、 已知抛物线C:y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。18、 设A=x|x2+px+q=0,M=1,3,5,7,9,N=1,4,7,10,若AM=,AN=A,求p、q的值。19、 已知,b=2-x,c=x2-x+1,用反证法证明:a、b、c中至少有一个不小于1。参考答案(一) 选择题1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A(二) 填空题 11、 12、25,60 13、-1a1 14、若a、b均不为0,则ab0 15、7(三) 解答题16、a1或a-1,提示:画图17、 3m 18、,或,或 感谢阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!
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