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小学数学应用题解法归类七19“牛吃草”问题【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量原有草量草每天生长量天数【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例1一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?解草是均匀生长的,所以,草总量原有草量草每天生长量天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1,按以下步骤解答:(1)求草每天的生长量因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草,即(11020);另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量,所以11020原有草量20天内生长量同理11510原有草量10天内生长量由此可知(2010)天内草的生长量为110201151050因此,草每天的生长量为50(2010)5(2)求原有草量原有草量10天内总草量10内生长量11510510100(3)求5天内草总量5天内草总量原有草量5天内生长量10055125(4)求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125525(头)答:需要5头牛5天可以把草吃完。例2一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算:(1)求每小时进水量因为,3小时内的总水量1123原有水量3小时进水量10小时内的总水量1510原有水量10小时进水量所以,(103)小时内的进水量为1510112314因此,每小时的进水量为14(103)2(2)求淘水前原有水量原有水量11233小时进水量362330(3)求17人几小时淘完17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(172),所以17人淘完水的时间是30(172)2(小时)答:17人2小时可以淘完水。20鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔各有多少只的问题,叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差,求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题:假设全都是鸡,则有兔数(实际脚数2鸡兔总数)(42)假设全都是兔,则有鸡数(4鸡兔总数实际脚数)(42)第二鸡兔同笼问题:假设全都是鸡,则有兔数(2鸡兔总数鸡与兔脚之差)(42)假设全都是兔,则有鸡数(4鸡兔总数鸡与兔脚之差)(42)【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法,可以先假设都是鸡,也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。例1长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔细算一算,多少兔子多少鸡?解假设35只全为兔,则鸡数(43594)(42)23(只)兔数352312(只)也可以先假设35只全为鸡,则兔数(94235)(42)12(只)鸡数351223(只)答:有鸡23只,有兔12只。例22亩菠菜要施肥1千克,5亩白菜要施肥3千克,两种菜共16亩,施肥9千克,求白菜有多少亩?解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(12)千克”与“每只鸡有两个脚”相对应,“每亩白菜施肥(35)千克”与“每只兔有4只脚”相对应,“16亩”与“鸡兔总数”相对应,“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜,则有白菜亩数(91216)(3512)10(亩)答:白菜地有10亩。例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本,作业本每本3.20元,日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本,则有作业本数(690.7045)(3.200.70)15(本)日记本数451530(本)答:作业本有15本,日记本有30本。例4(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?解假设100只全都是鸡,则有兔数(210080)(42)20(只)鸡数1002080(只)答:有鸡80只,有兔20只。例5有100个馍100个和尚吃,大和尚一人吃3个馍,小和尚3人吃1个馍,问大小和尚各多少人?解假设全为大和尚,则共吃馍(3100)个,比实际多吃(3100100)个,这是因为把小和尚也算成了大和尚,因此我们在保证和尚总数100不变的情况下,以“小”换“大”,一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(31/3)个。因此,共有小和尚(3100100)(31/3)75(人)共有大和尚1007525(人)答:共有大和尚25人,有小和尚75人。21方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵),根据已知条件求总人数或总物数,这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】(1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数(每边人数1)4每边人数四周人数41(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数每边人数每边人数空心方阵:总人数(外边人数)?(内边人数)?内边人数外边人数层数2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则:总人数(每边人数层数)层数4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。例1在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行22人,参加体操表演的同学一共有多少人?解2222484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。例2有一个3层中空方阵,最外边一层有10人,求全方阵的人数。解10(1032)?84(人)答:全方阵84人。例3有一队学生,排成一个中空方阵,最外层人数是52人,最内层人数是28人,这队学生共多少人?解(1)中空方阵外层每边人数524114(人)(2)中空方阵内层每边人数28416(人)(3)中空方阵的总人数141466160(人)答:这队学生共160人。例4一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形纵横两个方向各增加一层,则缺少9只棋子,问有棋子多少个?解(1)纵横方向各增加一层所需棋子数4913(只)(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数(131)27(只)(3)原有棋子数77940(只)答:棋子有40只。例5有一个三角形树林,顶点上有1棵树,以下每排的树都比前一排多1棵,最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?解第一种方法:1234515(棵)第二种方法:(51)5215(棵)答:这个三角形树林一共有15棵树。
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