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第五讲 分数应用题之工程问题工程问题,究其本质是运用分数应用题的量率对应关系,即用对应分率表示工作总量与工作效率,这种方法可以称作是一种“工程习惯”,这一类问题称之为“工程问题”。有的状况下,工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”,甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等。我们可以这样认为,工程问题不仅指一种题型,更是一种解题方法。教学目标1 回顾工程问题的基本数量关系与一般解法;2 精讲工程问题的常见解题方法:一、 解题关键是把“一项工程”看成一个单位,抓住数量关系:工作效率工作时间=工作总量,来解答。二、 要擅长利用常见的数学思想方法,如假设法、转化法、代换法等。工作的先后依次可以变更(假设);要擅长抓住工作效率之间的关系,并适当将它转化为工作时间和工作量之间的关系,这样的转化和代换,往往能化难为易。三、 一些稍困难的分数应用题、流水行程问题,其实质也是工程问题,要擅长抓住问题的本质特征,把它看作工程问题来解决。专题回顾【例1】 (小学数学冬令营竞赛试题)一项工程,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成。甲、乙合作了几天后,乙因事请假,甲接着做,从开工到完成任务共用了16天。乙请假多少天? 【例2】 搬运一个仓库的货物,甲需10小时,乙需12小时,丙需15小时。有同样的仓库A和B ,甲在A仓库,乙在B仓库同时起先搬运货物,丙起先帮甲搬运,中途又转向帮乙搬运,最终同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时?【例3】 (北京市第六届“迎春杯”决赛试题)一项工程,甲单独做要12小时完成,乙单独做要18小时完成若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时,两人如此交替工作,请问:完成任务时,共用了多少小时? 专题精讲一、 代换法关键是将单干与合作的实际状况,依据须要等量代换成新的条件。【例4】 一池水,甲、乙两管同时开,5小时灌满,乙、丙两管同时开,4小时灌满。现在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满?【例5】 【铺垫】一项工程,甲独做6天完成,甲3天的工作量,乙要4天完成。两队合做2天后由乙队独做,还要几天才能完成?【例6】 一项工程,甲先独做2天,然后与乙合做7天,这样才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比是2:3。假如这项工程由乙单独做须要多少天才能完成?二、 比例法通过比例关系,得到相关条件,是工程问题的一种常见方法。【例7】 (奥数探讨中心)打印一份书稿,甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才能完成。假如甲、乙合做2天,剩下的由乙独做,那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成?【例8】 (第15届“迎春杯”小学数学竞赛初赛)甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的马路清扫任务甲车单独清扫需10小时,乙车单独清扫需15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米问:东、西两城相距多少千米?三、 方程法抓住等量关系解题。【例9】 (小学数学奥林匹克决赛第9题)甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天,一队完成甲工作要12天,二队完成乙工程要15天;在雨天,一队的工作效率要下降40,二队的工作效率要下降10。结果两队同时完成工作,问工作时间内下了多少天雨?四、 列表法数据很多,可列表整理。【例10】 (奥数探讨中心)放满一个水池,假如同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成;假如同时打开2,3,4阀门,则21分钟可以完成;假如同时打开1,3,4号阀门,则28分钟可以完成;假如同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成。问:假如同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分可以完成?【例11】 (小学数学奥林匹克竞赛)一项工程,假如由甲、乙、丙共同工作,45天可以完成,需付工程款2700元;假如由甲、乙、丁共同工作,40天可以完成,需付工程款2800元;假如由乙、丙、丁共同工作,36天可以完成,需付工程款2880元;假如由甲、丙、丁共同工作,30天可以完成,需付工程款2700元,现确定将工程承包给某一工程队,确保工程要100天以内完成,且支付的工程款尽量的少,那么应当将工程交给哪一个工程队,支付的工程款是多少元?五、 工程法对于行程或者其它一些题,可以用工程习惯来解题。【例12】 小王和小李同时从两地相向而行,小王走完全程要60分钟,小李走完全程要40分钟。动身后5分,小李因忘带东西而返回动身点,因取东西耽搁了5分钟,小李再动身后多长时间两人相遇?真题实战1、(06年西城八中选拔考试真题)一份文件,假如甲抄10小时,乙抄10小时可以抄完;假如甲抄8小时,乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时,剩下的甲乙合作,还须要几小时才能完成?2、(04年人大附考试真题)我们规定两人轮番做一个工程是指,第一个人先做一个小时,其次个人再做一个小时,然后再由第一个人做一个小时,然后又由其次个人做一个小时,如此反复,做完为止。假如甲、乙轮番做一个工程须要9.8小时,而乙、甲轮番做同样的工程只须要9.6小时,那乙单独做这个工程须要多少小时?3、抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。假如3人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄须要多少天都能完成?4、有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要20天。假如每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少须要多少天?5、(小学数学奥林匹克)一件工程,甲队独做12天可以完成,甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半,现在甲乙两队合做若干天后,由乙队单独完成,做完后发觉两段所用时间相等,则共用多少天?数学语絮勤奋出天才法国数学家彭加勒,童年时由于患过运动神经系统的毛病,视力和书写实力都受到很大的影响,但非凡的记忆力和高度集中的留意力却弥补了他这方面的缺陷。彭加勒具有过目不忘的“照相机式”的记忆力,他对事物的记忆快速、长久而精确。由于视力不好,上课时看不清黑板上的字,记笔记对于他来说是一件很不简单的事。彭加勒爽性就不记笔记,上课时集中留意力聚精会神地听讲、记忆和思索。由于长期实行这种方式学习,彭加勒养成了在脑子中完成困难计算的实力,他的很多论文就是采纳这种方式构思的。以这种独特的方式,彭加勒闯进了数学大世界。19岁那年,彭加勒的数学才能已经远近著名。这一年,彭加勒报名参与了巴黎综合工科学校的入学考试。为了摸索这位数学奇才的实力,主考官细心设计了两道难题。谁知道彭加勒竟然不费吹灰之力,轻而易举地解答了出来,主考官们惊讶不已。可是,他的画图实力太差,在几何画图的考试中他落下马来。按学校的规定,彭加勒已与这所著名的高等学府无缘,但主考官认为他是一个难得的数学奇才。因此,在主考官的竭力举荐下,彭加勒被破格录用了。在巴黎综合工科学校学习两年后,彭加勒又升入了高一级的矿业学院,打算毕业后当一名工程师。但是,数学深深吸引着彭加勒,他仍花很多时间和精力来探讨各种各样的数学问题。1878年,他向法兰西科学院提交了一篇关于微分方程的论文,这篇论文被科学院的专家评定为优秀论文。其次年,法兰西科学院授予彭加勒数学博士学位。这一年,彭加勒25岁,33岁时他又当选为法兰西科学院院士。彭加勒一生共发表过500多篇学术论文和30多卷著作,其内容涉及数学、物理学、天文学和哲学等众多学科。好玩的是,这样一位数学天才的智商,却不像他所取得的成就那样光芒耀眼。在彭加勒成名后,德国心理学家比内测定了他的智商,结论是彭加勒是个“笨人”。或许,有的同学会为自己的高智商而沾沾自喜,有的同学则会为自己的低智商而没精打采。从彭加勒的故事中,你至少应当明白这样一个道理:智商不能反映一个人实力的凹凸;对一个人的成才来说,勤奋比才智更重要。
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