第 2 章 逻辑代数基础2.1 概述一、算术运算和逻辑运算在数字电路中, 二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的 状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即 算术运算。当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运 算。算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。二、几个基本概念1、逻辑状态表示法一种状态 高电位 有 真 是 美 生1 0另一种状态 低电位 无 假 非 丑 死0 12、两种逻辑体制1 高电位低电位0 低电位高电位正逻辑负逻辑3、高低电平的规定正逻辑负逻辑2.2 逻辑代数中的三种基本运算1、与逻辑（与运算）（逻辑乘）与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A, B, C,）均 满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Y = ABC开关 A， B 串联控制灯泡 YA、B都断开，灯不亮A断开、B接通，灯不亮-两个开关断开同灯不亮。灯才亮。Bj接通达灯亮:将开关接通记作1,断开记作0；灯亮记作1,灯灭 记作 0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系:这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一 一 列出来的表格叫做真值表。N个变量，有种取 值组合。有0出0 全1出1实现与逻辑的电路称为与门。 与门的逻辑符号：逻辑符号A_&BYY = AB2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A, B，C,）中, 只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Y=A+B+C+开关A, B并联控制灯泡YA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A 接通、 B 断开，灯亮。 A、 B 都接通，灯亮。两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：Y=A +B功能表 真值表实现或逻辑的电路称为或全 或出的逻辑符号：3、非逻辑（非运算） Y=A+B事件耳非逻辑指的是逻辑?的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时, U发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为： 开关A控制灯泡Y Y = AA 断开，灯亮。A 接通，灯灭。功能表真值表AY01辑门的逻辑符号:有1出0 有0出14、复合逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为:(2（3（4）异或运算：逻辑表达式为:）或非运算0逻辑表达式全）与或有运算：逻辑表达式为:出1（5）桐或运算0逻辑表达式出：12.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 一.定理 利用真值表很容易证明这些公式的正确性割断总非 二反演常用恒等律）：二A. B变*为+2.4 逻辑运算的基本定理变+为*1、代入定理：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置 都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。 例如，已知等式，用函数 Y=AC 代替等式中的A,根据代入规则，等式仍然成立，即有： 反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有 “”换成“ + ”，“ + ”换成“”，“0”换成“ 1”，“ 1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数Y （或称补函数）。这个规则称为反演定理。例如： 对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中的所有 “”换成“ + ”，“ + ”换成“”，“0”换成“ 1”，“ 1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y Y称为函Y的 对偶函数。这个规则称为对偶定理。例如： 对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。 利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如： 注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进 行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。2.5 逻辑函数极其表示方法2.5.1 逻辑函数出0Y=F(A,B,C , 若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输 出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种取值 0/1。逻辑函数常用真值表,表达式,卡诺图, 逻辑图和波形图来表示。一.逻辑函数一般式 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非 -或非表达式、与或非表达式 5 种表示形式。借助于摩根定律和分配律,可以实现 它们之间的相互转换。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式 的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。二. 逻辑函数标准式1. 标准与或式 任何逻辑函数利用互补律和分配律都可表示成标准与或式,例（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其 中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘 积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3 个变量 A 、 B 、 C 可组成 8 个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号 mi 来表示最小项。下标 i 的确定： 把最小项中的原变量记为 1，反变量记为 0，当变量顺序确定后，可以 按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就 是这个最小项的下标 i。3 个变量 A 、 B 、 C 的 8 个最小项可以分别表示为： 最小项的性质： 任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 任意两个不同的最小项的乘积必为 0。 全部最小项的和必为 1。 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或 表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A+A=1和A（B+C） =AB+BC来配项展开成最小项表达式。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1 的那些最小项相加，便 是函数的最小项表达式。将真值表中函数值为 0 的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表 达式。2. 标准或与式三、卡诺图 把一组变量的全部最小项 ,分别以平面图上的小方格表示 ,使几何上相 邻的小方格所代表的最小项 ,在逻辑上也相邻,这样得到的图形叫做卡 诺图1、 卡诺图的形成(1)、卡诺图的画法 确保行或列变量取值的顺序要按照循环码排列2. 卡诺图的特点 卡诺图使最小项的逻辑相邻变成了几何相邻。(相邻项是指两个最小项 只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项) ,所 以,由图可直接观察相邻项,这就是卡诺图的重要特点。3、逻辑函数的卡诺图 逻辑函数的卡诺图表示法(1)、己知逻辑函数表达式画卡诺图 与每一个最小项相对应的方格内填入 1，其余的方格内填入 0。(2)、己知真值表画卡诺图己知逻辑函数真值表, 对应于变量取值的每种组合,函数值为 1 或为 0, 则在相同变量卡诺图的对应的方格内填 1 或填 0,就得该逻辑函数的卡 诺图。3)、由函数卡诺图列真值表和写标准与或式由于真值表, 标准与或式, 卡诺图是逻辑函数的不同表达方式 ,它们之 间有着一一对应的关系,相互转换比较简单。2.6 逻辑函数的化简方法与或表达式最简的含义是: (1)乘积项的个数最少;(2)在满足乘积项个数最少的条件下,每个乘积项中因子的个数也最少。 2.6.1 公式化简法公式法化简,就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函 数。求最简与或表达式。1、并项法利用公式A + A = l,将两项合并为一项，并消去一个变量。 若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因 子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。2、吸收法1)利用公式A + AB=A，消去多余的项。 如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。(2)利用公式A + AB=AB，消去多余的变量。如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。3、配项法(1)利用公式A = A(B + B),为某一项配上其所缺的变量，以便 用其它方法进行化简。(2)利用公式A + A = A，为某项配上其所能合并的项。4、消去冗余项法利用冗余律AB + AC + BC = AB + AC，将冗余项BC消去。 例：化简函数解：先求B出事的对偶函数DE，并对其进行)求Y，的对偶函数，便得Y的最简或与表 6.2=卡诺图化简法+ CD + ADE ) 图形化简法是将逻辑函+数用卡诺图来表示，2.利用卡诺图来化简逻辑函化简。一. 化简的依据 在卡诺图上,凡几何上相邻的小方格所代表的最小项,在逻辑上也相邻, 因而求和时,可反复应用 A+A=1 的关系进行合并, 相邻 2 个方格合并, 消去不同的一个因子, 相邻 4 个方格合并,消去不同的 2 个因子, 相邻 8 个方格合并,消去不同的 3 个因子。一般地讲,相邻 2 个方格合并,消 去不同的 n 个因子。二. 化简的步骤1. 以卡诺图表示逻辑函数。2. 合并相邻的 2 个小方格,(1) 把逻辑为 1 的相邻小方格最大限度地画成一个包围圈(方格群);(2) 圈子可重复包围,但每个圈都要有新的方格;(3) 不能漏掉一个方格 ,如某方格不能与任何方格合并 ,要单独画一个 圈。3. 把每个圈的表达式相加,就得简化后的与或表达式。例2.7 具有无关项的逻辑函数极其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项一. 约束项某些逻辑函数,输入变量的取值存在一定制约关系 ,这种输入变量的取 值所受到的限制,叫做约束二. 任意项函数可以随意取值(可以为 0 ，也可以为 1 )或不会出现的变量取值所 对应的最小项称为任意项，也叫做约束项或无关项。约束项与统称为无关项,是否写入函数式无关紧要,在真值表,卡诺图中, 用符号“ 0”、“X ”或“ d”表示。2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用 在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达 式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，无关项的取值可 视具体情况取 0 或取 1。具体地讲，如果无关项对化简有利，则取 1； 如果无关项对化简不利，则取 0。不利用随意项的化简结果为：利用随意项的化简结果为：本节小结逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公 式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函 数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就 是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握， 但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时， 充分利用无关项可以得到十分简单的结果。