第1课时正切函数的定义正切函数的图像与性质核心必知1正切函数(1)定义：如果角满足：R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值.根据函数的定义，比值是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan_，其中R，k，kZ.(2)与正弦、余弦函数的关系：tan_x(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数(4)正切值在各象限内的符号如图2正切线单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线AT，与角的终边或其反向延长线交于点T.则称线段AT为角的正切线当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在3正切函数的图像和性质函数性质ytan x图像续表函数性质ytan x定义域x|xR且xk，kZ值域R周期性最小正周期为T奇偶性奇函数单调性在(k，k)(kZ)上是增加的对称性图像的对称中心(，0)kZ问题思考1你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线xk(kZ)所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心2正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是正切函数定义域是x|xk，kZ，正切曲线在每一个开区间(k，k)(kZ)上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的3函数y|tan x|的周期是吗？提示：不是y|tan x|的周期仍为.讲一讲1已知tan 2，利用三角函数的定义求sin 和cos .尝试解答在的终边上取一点P(a，2a)且a0，则有xa，y2a，r|a|.tan 20，在第一象限或第三象限当在第一象限时，a0，则ra.sin ，cos .当在第三象限时，a0，则ra.sin ，cos .1若P(x，y)是角终边上任一点，则sin ，cos ，tan (x0)，其中r.2当角的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论练一练1角的终边经过点P(b，4)且cos ，求tan 的值解：由已知可知点P在第二象限，b0.cos ，解得b3，tan .讲一讲2画出函数y|tan x|的图像，并根据图像写出使y1的x的集合尝试解答y|tan x|画出其图像，如图所示实线部分由图像可知x的集合为x|kxk，kZ1三点两线画图法“三点”是指，(0，0)，；“两线”是指x和x.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线2如果由yf(x)的图像得到yf(|x|)及y|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yf(x)(x0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf(|x|)(x0)的图像；同理只要作出yf(x)的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y|f(x)|的图像3利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等练一练2多维思考根据讲2中函数y|tan x|的图像，讨论该函数的性质解：(1)定义域：x|xR，xk，kZ(2)值域：0，)(3)周期性：是周期函数，最小正周期为.(4)奇偶性：图像关于y轴对称，函数是偶函数(5)单调性：在每一个区间(k，k(kZ)上是减少的，在每一个区间(kZ)上是增加的(6)对称性：对称轴x，kZ.讲一讲3(1)求函数ytan的单调区间(2)比较tan与tan的大小尝试解答(1)ytan x，在(kZ)上是增加的，kxk，kZ.2kx2k，kZ，即函数ytan的单调递增区间是2k，(kZ)(2)tantantan，tantantan.又函数ytan x在(0，)内单调递增，而0，tantan，即tantan.1正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间2对于函数yAtan(x)(A，是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x的范围即可3比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小练一练3函数f(x)tan(2x)的单调递增区间为_解析：由k2xk(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数的单调递增区间为(，)(kZ)答案：(，)(kZ)求函数y的定义域错解由1tan x0得tan x1，解得xk，kZ，函数的定义域为x|xk，kZ错因求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的xk，kZ这一条件上面的解法只考虑了1tan x0，而没有考虑xk，kZ，因而是错误的正解由得xk且xk，kZ.函数的定义域为.1函数ytan(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：选Aytan(x)tan x.此函数是奇函数2函数ytan(x)的定义域是()A.B.C. D.解析：选D由xk，kZ得，xk，kZ，函数的定义域为.3已知角的终边上一点P(2，1)，则tan ()A. B2C2 D解析：选Dtan .4函数ytan x，x的值域是_解析：函数ytan x在上为增加的，0tan x1.答案：0，15比较大小：tan 2_tan 9.解析：tan 9tan(29)，而229，且ytan x在(，)内是增加的tan 2tan(29)，即tan 2tan 9.答案： 6利用正切函数的图像作出ytan x|tan x|的图像，并判断此函数的周期性解：当x(k，k时，ytan x0，当x(k，k)时，ytan x0，ytan x|tan x|图像如图所示由ytan x|tan x|的图像可知，它是周期函数，周期为.一、选择题1已知是第二象限角，则()Atan0 Btan0Ctan0 Dtan的符号不确定解析：选A是第二象限角，是第一或第三象限角，tan0.2函数y2tan(2x)的定义域是()A.B.C.D.解析：选B由2xk，kZ，解得x，kZ.3函数ytan(sin x)的值域是()A. B.Ctan 1，tan 1 D1，1解析：选C1sin x1，1sin x10，函数的增区间为(k，k)(kZ)答案：(kZ)7函数ysin x与ytan x的图像在上交点个数是_解析：在x时，tan xsin x，x时，tan xsin x，所以ysin x与ytan x在上只有一个交点(0，0)答案：18已知函数y2tan ，则函数的对称中心是_解析：y2tan2tan .ytan x的对称中心为，令x，得xk，kZ.y2tan的对称中心为，kZ.答案：(kZ)三、解答题9已知f(x)asin xbtan x1，f()7，求f()解：设g(x)asin xbtan x，因为sin x与tan x都是奇函数，所以g(x)g(x)，即g(x)g(x)0，故f(x)f(x)g(x)1g(x)12，又易得fff，ff2，且f7，ff5.10已知函数f(x)x22xtan 1，x1， ，其中.(1)当时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)求的取值范围，使yf(x)在区间1， 上是单调函数解：(1)当时，f(x)x2x1，x1， 当x时，f(x)的最小值为；当x1时，f(x)的最大值为.(2)函数f(x)(xtan )21tan2的图像的对称轴为xtan .yf(x)在区间1，上是单调函数，tan 1或tan ，即tan 1或tan .又，的取值范围是.