因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之 中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法 与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式 法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法 技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3) (a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b) (a2+ab+b2) = a3-b3 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca= (a+b+c) 2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca) ；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式练习：分解因式1、 a 2 - ab + ac - be2、 xy - x - y +1（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式： x 2 一 y 2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= (x 2 y 2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a(x + y)=(x + y)(x - y + a)例4、分解因式： a2 2ab + b 2 e 2解：原式=(a 2 2ab + b 2) - e 2= (a - b)2 - c 2=(a b e)(a b + e)综合练习：1. a2 6ab + 12b + 9b2 4a2. a4 2a3 + a2 94. x 2 一 2xy 一 xz + yz + y 23. 4a 2 x 一 4a 2 y 一 b 2 x + b 2 y四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式X2 + （p + q）x + pq二（x + p）（x + q）进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知OV a W5,且a为整数，若2x2 + 3x + a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求A = b2 -4ac 0 而且是一个完全 平方数。于是A = 9 - 8a为完全平方数，a = 1（二）二次项系数不为1的二次三项式ax2 + bx + cac22条件：(1) a = a a12(2)c = c c12(3)b = a c + a c1 2 2 1分解结果： ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )1 1 2 23-5(-6)+(-5)= -11解：3x2 -llx +10 = (x-2)(3x-5)练习7、分解因式： (1) 5 x 2 + 7 x - 6(2) 3x2 -7x + 2(3) 10x2 -17x + 3(4) - 6y2 +11 y +10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式： a2 -8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。二 1：二8b1-16b8b+(-16b)= -8b解：a 2 - 8ab - 128b 2=a 2 + 8b + (-16b)a + 8b x (-16b)=(a + 8b)(a - 16b)练习 8、分解因式 x2 - 3xy + 2y2 m2 - 6mn + 8n2 a2 - ab - 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式例9、 2 x 2 一 7 xy + 6 y 2例10、 x 2 y 2 一 3 xy + 2把xy看作一个整体1-12-3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x - 2 y )(2 x - 3 y) 练习9、分解因式： (1) 15 x 2 + 7 xy - 4 y 2 综合练习10、(1) 8x6 - 7x3 -1(3) (x + y)2 一3(x + y) 一 10(5) x2y2 -5x2y-6x2(7) x2 + 4xy + 4y2 一 2x一4y 一3(9) 4x2 一 4xy 一 6x + 3y + y2 一 10(11.) abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五、换元法。1 -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy -1)( xy - 2)(2) a 2 x 2 - 6ax + 8(2) 12x2 一 11xy 一 15y2(4) (a + b)2 一 4a 一 4b + 3(6) m2 - 4mn + 4n 2 - 3m + 6n + 2(8) 5(a + b)2 + 23(a2 一b2)一 10(a一b)2(10) 12(x + y)2 +11(x2 一 y2) + 2(x一 y)2例 13、分解因式(1) 2005x2-(20052 -1)x-2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2=(ax +1)( x - a)=(2005 x +1)( x - 2005)(2)型如abed + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，贝0 x 2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式=(A + 2 x) A + x2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 -4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)2 一4(a2 + 3)2六、添项、拆项、配方法,试根法，短除法。例15、分解因式(1) x3 一 3x2 + 4解法1拆项。解法2添项。原式=x 3 +1 - 3 x 2 + 3原式= x3 3 x2 4 x + 4 x + 4=(x +1)( x2 x +1) 3( x +1)( x 1)=x( x2 3 x 4) + (4 x + 4)=(x +1)( x2 x +1 3 x + 3)= x (x +1)( x 4) + 4( x +1) = (x +1)( x2 4 x + 4)=(x +1)( x 2)2=(x +1)( x 2)22) x 9 + x 6 + x 3 一 3解：原式=(X 9 - 1) + (X 6 - 1) + (X 3 - 1)=(X 3 1)( X 6 + X 3 + 1) + (X 3 1)( X 3 + 1) + (X 3 1)=(X 3 1)( X6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)=(X 1)( X2 + X +1)( X6 + 2 x 3 + 3)练习 15、分解因式(1) x 3 一 9 x + 8(2) (X + 1)4 + (X 2 1)2 + (X 1)4(3) X4 7X2 +1(4) x4 + x2 + 2ax +1 一 a2(5) x4 + y4 + (x + y)4(6) 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 一a4 一b4 一c4七、待定系数法或双十字相乘法。例 16、分解因式 x 2 + xy 6 y 2 + x +13 y 6分析：原式的前3项X2 + xy 6y2可以分为(X + 3y)(X-2y),则原多项式必定可分为(X + 3 y + m)(X 一 2 y + n)解：设 X 2 + xy 6 y 2 + x +13 y 6 = ( x + 3 y + m)( x 2 y + n)(x + 3y + m)(x 一 2y + n) = x2 + xy 6y 2 + (m + n)X + (3n 2m) y mnx2 + xy 6y 2 + x +13 y 6 = x2 + xy 6y 2 + (m + n)x + (3n 2m) y mnm = -2n=3m + n = 1对比左右两边相同项的系数可得3n-2m = 13，解得mn = 一6原式=(x + 3y 一 2)(x 一 2y + 3)练习 17、(1)分解因式 x2 - 3xy -10y 2 + x + 9y - 2(2)分解因式 x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 5 x + 7 y + 61 在 AABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 16b2 c2 + 6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b2 已知：x + = 2，贝収3 +=xx33.已知：x + y = 6, xy = 1,求：x3 + y3 的值。4. 求证：n3 + 5n是6的倍数。(其中n为整数)5. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2 + b2 c2和4a2b2的大小。196 若 a b=2,ac=,求(b c)2+3(b c) + 的值。247已知1+ x+ x 2 + A + x 2004 + x 2005 = 0, 贝 x 2006 = 8、计算(1 J )(1 J) A (1 J )(1 - 1 )的值是()223292102A、12B、丄,C.丄,D.1120 10 20