兰州大学大气科学学院大气科学/应用气象专业（班） 年级 课程 大气数值模式及模拟（数值天 气预报）200 200学年 第2学期（A ）卷期末考试题（120分钟）考试时间姓名学号题号得分分数主考教师：隆霄阅卷教师:1.对线性平流方程：dudu 小+ a 二 0 dtdxCrank-Nicolson的差分格式为:Un+1 U n a U n+1 U n+1 U n U nj j +(i+1 j1 + j+1 j1) = 0At 22 Ax2 Ax分析其稳定性条件和截断误差。(20分)a At/、解:令0二，则差分格式可以展开为： Un+1 = Un 0 (u n+1 Un+1 + Un Un )4 Axj jj+ijij+iji利用冯-纽曼方法，设Un = Ge1阿,I = 丫-1，代入上式，化简可以得到增幅因子表达式为: j1 2 0I sin kAx G =1 + 2 0I sin kAx由于 | g H1 201 sin kAx |= 11 + 2 0I sin kAx所以格式绝对稳定.利用泰勒展开可以得到：dund2u nun+1 = un +j At +j (At)2 /(2!) +j j dtdt2du nUn+1 U n d2U n所以才一苛At /（2!）+，时间截断误差为O（ At）类似的方法把Un-1, Un-1, Un+1, Un+1在空间域展开，可以得到截断误差为O（Ax 2） j+1 j 1 j+1 j 12.对线性平流方程：dudu , du 小+ c + d = 0dtdxdy其中 c=2.5, d=0.2, Ax = Ay = 0丄At = 0.004u 0 = 1.5 + sin(2兀 iAx) + sin(2兀 jAy)请写出时间中央差、空间中央差分的差分格式，并用Fortran语言写出计算程序。（启动时步采用时间前差格式，东西向边界取周期条件，南北向边界取固定边界条件） 要求:程序中要有明确的变量说明，所写程序符合Fortran语言基本标准。（20分）un+1 un-1un u料u料 u料答：微分方程的差分格式为：匸j+c+d jAT=0ui u 0u 0 u 0u 0 u 0启动时刻的差分格式为：+c+d jA严=0程序略.3.试分析如下差分形式的地转适应方程的解的频散性质。（20分） 譽- fv + gz： = 0其中a： =（a -a ）dtx: 2 Ax i+i i -dv-+ fu = 0dt竺 + Hux = 0dt :解：设方程有如下形式的波动解Au = u el(kid-t)Av = v el(kid-)Az = zel (kid -t)将此解代入差分方程组，并进行消元得-1 u 一 fv + gzI sin kd / d = 0、一 I v + fu = 0-1 z + HuI sin kd / d = 0进行消元得频率方程()2 = 1 + 九2 sin 2kd /2d2相应的群速度公式为当kd=n时，重力惯性波变为纯惯性振荡。f 2九2 sin 2kd由此可知当kd二n/2时，群速度为0波能量不能频散。_du dv d、门P P4.已知P坐标系中的连续方程为：（丁 +） = 0，其中c =dx dy dp pP Ps t坐标系中的连续方程。（20分）解：对任意变量 F(x, y, p, t) = Fx, y,c (x, y, p, t), t有:dF dF dF d&()二()+()ds p ds & d& ds p其中s表示x, y，或者t又(竺)二丄d&d(p - pt) + (p - p )旦(竺)_ 口 匹ds p 兀 d (p - p ) ds pt d (IW) ds兀 2dsds& d兀兀ds把（2）代入（1）则有：（牛）二（芳）仝甞宁ds P ds & 兀 ds d&(3)du dv d、门亠利用把P坐标系中的连续万程（dx+dy+吊）p =0 展开有:(也 + 竺)_&VK.dVh +竺=0 dx dy & 冗d&dp(4)又二 dp 二 d(pt) = 7iJ+兀&dtdt(5)所以:d 1 d dp 兀 d&1 _d_ 兀d&冗& + 兀b =& (+ V V兀)+ 兀b 兀dth(6)把（6）代入（4）,整理后则有：d兀d兀b 小+ V （兀V ）+= 0（7）dt& hd&（7）即是&坐标系中的连续方程。5. 原始方程模式与过滤模式有哪些不同之处？（10分）答：（1）原始方程模式可以描写风场和质量场之间的适应过程，这一过程是通过惯性重力波对能量的频 散实现的；在过滤模式中，也会产生不适应，一旦出现则通过地转近似或者其他风压场的诊断关 系加以调整，这种调整不是通过大气中的物理过程来实现的，而是强加的，这是两者最本质的区 别。（2）过滤模式受到的限制较多，引入了静力近似，还引入了其他的地转近似或者无辐散近似，而原 始方程模式采用的近似条件较少，因而精度高，适用性强。（3）原始方程模式可以描述天气发展的快过程，也可以描述天气发展的慢过程，而过滤模式只能描 述天气发展的慢过程。（4）原始方程模式，不论是正压得还是斜压的，在不考虑地形和摩擦作用的情况下，大气总的绝对 角动量守恒，但过滤模式只有个别情形可以保证大气总的绝对角动量守恒。（5 ）原始方程模式对初值和计算稳定性非常敏感，对于一定的网格，在保证计算稳定的条件下，其所 取的时间步长约比过滤模式小一个量级。6. 什么是非线性计算不稳定和混淆误差?非线性计算不稳定有何特点?你知道有那些方法 可以克服非线性不稳定？ （10分）答:非线性计算不稳定是指由于非线性作用产生的不稳定现象.混淆误差是指：用有限网格上的函数值只能分解有限的波数,其最短波长为2 Ax，如果非线性作用产生波长小于2 Ax的分量，则网格系统不能正确的分辨，而把它错误的表示成某一种波长大于2 x的波,造成了这种波的误差，这样产生的误差就是混淆误差.非线性不稳定具有突变的特点，同时它的产生不仅和差分方案有关,也和初值有关 克服的办法：进行空间和时间平滑，滤去短波分量(2) 在方程中加入人工扩散项(3) 构造具有隐式平滑或者某种选择性衰减作用的差分格式(4) 构造守恒的差分格式.