第三章 非惯性参考系不识庐山真面目，只缘身在此山中。地球的多姿 多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。春光 无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放 益彩。【要点分析与总结】1相对运动a df 兰+空也+空+mx r dt dt dt dt dta +b+wxrt_ dv dvd (V +Qx r)dta = t +d 2 r 2d 2*rd *Wt +dt dtx r + Wx 少 +Wx (V + Wx r)dt 2dt 2dtdt=a + a +x r +x(Wxr ) + 2xv t析仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。(1)平动非惯性系(心0)a a + a 艮卩：ma F + (ma)t(2)旋转非惯性系(a -b-o)tta 二x r+mx(&x r)+ 2(s xb2地球自转的效应(以地心为参考点) mr F mg - 2 mw x r写成分量形式为：mx = F + 2mO y sin 九x d)*2 2*3由*得：y=ut分别代入*， *并联立312cx =y2 得：J ud2cccdx二y -y2 -、 uud2u(y 2)到达对岸时y = d,代入得:cdX =-2u3. 一圆盘以匀角速度亦绕过圆心并与圆盘面垂直的轴转动。一质 点M沿圆盘上的弦，以恒定的相对速度u运动，如图所示。已 知该弦离盘心的距离为b，求在以地面为参考系时，质点M的 速度和加速度(表示成质点M离弦中点的距离x的函数).解:设m的速度，加速度分别为亍和a,依题意知：x r r+at二 ui + k x (xi + bj) + 0二(u 一 b)i +xiA 9a = a + a + ae c=0 + 0 + 0 + x k x (xi + bj) + 2k x ui=2xi2bj + 2uj=2xi -2b + (2u-2b)j4 一飞机在赤道上空以速率1000km水平飞行。考虑到地球的自转效应，分别在下列情形下求出飞机相对于惯性坐标系(不随地球转动的坐标系)的速率： (1)向北飞行；(2)向西飞行；(3)向东飞行。已知地球半径为 6370km解:以飞机为坐标原点，以向东为x方向,向南为y方向，竖直向上为Z方向,相对于地心(设为惯性系)的速度为:u 二 Rf = 7.295 x 10-5 x 6.4 x 106 号(i = 466.7 号；i干=543ms则:三种情况相对于地心的速度分别为:(1) u 二u+q 二4667mi- 1000kmhJ 贝比匕二再(2) u 二U+町二4667mi- 1000kmhi 二 189号贝U：笃二 189马5楔子，顶角为u,以匀加速度a沿水平方向加速度运动。质量 O为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下，如图所示。求质点相对于 楔子的加速度a及质点对楔子的压力F .解:依a = a + a，得：0, a = a - a = gsin u i + a cosu j - (a cosu j + a sin u i) = (gsin u - a cosu)i 0 0 0 0 0又因为在平动非惯性中:ma，= F-ma得:F = m(a + af)-mgt04AF = m(gsin u i + a cosu j) - m(-gcos uj + gsin ui) = m(gcos u + a sinu) j0 0则楔子对斜面的压力F = -F = -m(gcos u + a sinu)j6 一缆车，以大小为a，与地平线成u角的匀加速度上升。缆车中 0一物体自离缆车地板高度 h 处自由下落。求此物体落至地板处的位置。a = gj解:以缆车为坐标原点建立坐标系,如右图则,物体满足：则：知：a = a = -a sin u j + a cos ui t 0 0 0a = a - a = (g + a sin u) j - a cos ui t 0 0ffa = -a cos u, a = g + a sin ui0j0又因为：t则：f$h =- f ajha cosu0(g + a sinu)0即:向后方偏离ha0cosu(g + a sin u)07 一单摆摆长为1，悬挂点O 在水平线上作简谐振动：x = a sin pt这里x是悬挂点离开水平线上的固定点0的距离，如图所示。开始时摆锤沿铅直下垂，相对于O,的速度为零。证明单摆此后的微小振动规律为aP(sin pt 一 sin kt),式中k2l(k2 一 p2)k解:以摆锤为原点建立坐标系e ce，如右图，则：C相对于O点运动状 n T况：a二Xe -geTt TT=ap2 sin pt cos0 eT- g sin 0 e = 10 e(利用:TTa - a+a再利用微振动cos01,sin00，并令k2 = 1 有:10 k 20 +ap2sin pt可解得：0 - A sin(kt + p ) + ap sin pt 01(k2 一 p2)并代入初始条件t - 0,0 - 0 - 0得：9 - 0，A-_竺01 (k 2 p 2)故:积分并代入，得：0 -ap2 (sin pt - sin kt)1 (k2 - p2)” k8 竖直放置的钢丝圆圈，半径为r，其上套有一质量为m的光滑 小环。今若钢丝圈以匀加速度a竖直向上运动，求小环相对于 钢丝圈的速率U和钢丝圈对小环的作用力大小F。已知初始时N刻钢丝圈圆心与小环的连线跟铅直线之间的夹角p-p，小环的0相对速率u - u0解:设与沿直线向方向的夹角为p。如右图所示，以小环质心为参考 原点建立坐标系eoe，则在e方向上：a -a + an TTTT t t一 g sin 申=a sin p + av/、 .du . du u du-(g+a嗣一甘石=p矿丽积分得：u =+ 2r(g + a)(cosp - cosp )o在e方向保持力平衡，则支持力nF，二 mu2r+m(g.e 一 ae)nnu2二 m- + 2(g + a)(cosp 一 cosp ) + m(g + a) cosp r0u2二 m(g + a)(3cos p 一 2cos p ) + a0r9一平放于光滑水平桌面上的圆盘，以恒定角速度绕固定的圆盘中心转动。有一质量为m的人沿圆盘上确定的半径以恒定的相 对速率u向圆盘的边缘走动。试分别利用(1)地面惯性系；(2) 圆盘非惯性系，讨论圆盘对人的作用力解:(1)以地面惯性参考系讨论，设人走的半径为re，切向为e ,则 nv有：F = mgk + m3 2r(-e ) = mgk 一 m3 2utenn(2)以圆盘非惯性讨论：a = a + a =上喪tm贝U： F = mg 一 m3 x (3 x r) + 0 = mg 一 m3 2uten10 一半径为r竖直放置的光滑圆环，绕通过其圆心的铅直轴以恒 定的角速度3转动。在此圆环上套有一质量为m的小环，自 04处相对于圆环无初带地沿环下滑。问小环的位置0为何值时，它的滑动将开始反向？这是0是圆环的圆心与小环的连线跟转轴之间的夹角。解:同（8）题：a _ a + at在e方向上有:Tg sin0 二一r cos0 sin0 + a_ 一（g +3rcos0）sin 0得.a _ du _ udu _ 1 d 2udtrd申 2 d申积分并代入申=扌，u = 0得：1 u2 = g(cos0) + 竺(cos2 0 1)2 2 2 2当开始反向时,U = 0，代入上式解得:0=arccos（ -字-嘉）11 一内壁光滑的管子，在水平面内绕通过其端点o的铅直轴，以恒定的角速度后转动。管内有一质量为m的质点，用一自然长度为l，劲度系数为k的弹簧和管子的端点O相连，设初始时质点到O的距离为X = l且X = 0。求质点在管中的运动方程及它对管壁的压力F。N解：以 O 为原点,如右图建立直角坐标系,则有a = a + a + a = XT + k x k x xF ） + 2k x Xfc e得：a _ （X 一3 2x）T + 23Xj*i又因为：a _(FNyj+Fj一mgk)一心)亍Nzm(其中：0 2 = 土)m故：在X方向有：X = 一(02 一2)X + 021解方程并代入t二0, x二/, X二0得:X 二 竺（0 - COS0221）0 2 3 2 2再由 * , * 式得：F = 2mx = 2m/sin 022112Ny0 2 2F - mgNz3:F = 2m/sin H02 2tj +