.例1 设，求证：证明 令，则分两种情形：（1）时，.（2）时，.点评注意到，故先作代换，使的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。例2设，证明：证明我们证明事实上，而，故成立.同理，.因此，故原不等式左边成立.下面证明原不等式右边：，记，则，当时，因此在时是增函数，当时，因此在是上凸函数，由Jesen不等式，又知结合在递增，由可得，所以综上所述，故原不等式获证.例4 设，满足求证：证明 记，则设且是的一个排列，且使又设.则，故不妨设（否则，若，取，此时仍满足题设，且，不影响结论的一般性）。由排序不等式，有即欲证不等式成立。点评 绝对值符号内的各项分正负来处理是一个关键，注意到，再通过适当的放缩即可证得结论。例5 设，求证：证明 注意到函数在上是增函数，当时，故只需证明：，其中即证.由于.从而，欲证不等式成立。例6 试确定所有的正常数，使不等式对满足的非负数均成立。解全部解，其中取及，便得及下面证明：对满足的非负实数都成立。只需证明关于的齐次式：对满足的非负实数都成立。令式左边由柯西不等式，.又均为非负实数，.结合，式左边.故获证。综上，所求全部解点评先取特殊值（如中值、边值）得参数的X围，再证明在这个X围内不等式成立，这是含参不等式的处理方法。例7 正实数满足条件：，.证明：对于任意确定的，如果，则.证明 由已知条件及柯西不等式，得.令，显然有，由已知，得又对于固定的，有，.又，由柯西不等式，得；两个不等式相加，得所以，由定义及，有从而，即.原命题获证。练习题：1设，求证：证明 欲证式由柯西不等式， 注意到又.故由 欲证式成立.点评这种带条件的三元分式不等式很常见，用柯西不等式来证的较多，要适当选择和，便于运用柯西不等式2已知ABC的外接圆半径为R，半周长为p，面积为S. 求的最大值.解 .因为在内为上凸函数，所以，故当时，取得最大值3设是一个无穷项的实数列，对于所有正整数存在一个实数，使得且对所有正整数成立，证明：分析 我们利用柯西不等式处理该问题是本题成功关键。证明 对于，设为的一个排列且满足：.（柯西不等式）.故评注 这里抓住整体性质，利用不等式处理问题是常用的思想方法。 4对任意a,b,cR+，证明：（a2+2）（b2+2）（c2+2）9（ab+bc+ca）.证明原不等式a2 b2 c2 +2+4+8 9.由抽屉原理，不妨设a和b同时大于等于1，或同时小于等于1。则c2（a2-1）（b2-1）0即a2 b2 c2+ c2a2 c2+ b2 c2由均值不等式，有以及.2+3+67. 又由知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+a2+ b2+ a2c2+ b2c2+2=(a2+ b2)+ (a2c2+1)+( b2c2+1)2a b+2ac+2bc2+ a2 b2 c2+2a b+2ac+2bc.+得a2 b2 c2 +2+4+8 9.即原不等式成立。评注 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式，结合算术几何平均值不等式给出了一个很精巧的证明，本题也可以利用柯西不等式与算术几何平均值来证明。5设是正实数无穷序列. 证明：对任意正整数N，不等式成立，其中是的算术平均值，即证明 由，有（）.两边分别求和，得因此，由cauchy不等式，得. v