第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1(20xx北京一模)已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(2，4)， (1，3)，则()A(2，4)B(3，7)C(1，1) D(1，1)解析：选D.如图，(1，1)，所以(1，1)，故选D.2已知向量a，b(x，1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x的值为()A4 B8C0 D2解析：选A.a2b，2ab(16x，x1)，由已知(a2b)(2ab)，显然2ab0，故有(16x，x1)，R，所以x4(x0)3(20xx日照一模)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选B.如图，因为DEFBEA，所以DFBADEBE13，过点F作FGBD交AC于点G，所以FGDO23，CGCO23，所以b，因为a，所以ab.故选B.4(20xx南昌十校联考)已知a(，1)，若将向量2a绕坐标原点逆时针旋转120得到向量b，则b的坐标为()A(0，4) B(2，2)C(2，2) D(2，2)解析：选B.因为a(，1)，所以2a(2，2)，易知向量2a与x轴正半轴的夹角150(如图)向量2a绕坐标原点逆时针旋转120得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角30，所以b(2，2)，故选B.5如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：2；，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A BC D解析：选B.在ON上取点C使2，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则2，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊OB，由于，所以的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B.6(20xx洛阳统考)如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若mn，则mn的取值范围是()A(0，1) B(1，)C(，1) D(1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n，且mn(1，0)7已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_解析：由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)答案：(4，7)8已知A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，t(tR)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是_解析：设点P(x，y)，则由t(tR)，得(x2，y1)(1，4)t(1，1)(1t，4t)，所以解得由点P在第二象限，得所以5t3.答案：(5，3)9(20xx合肥质检)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a(cos C，bc)，向量b(cos A，a)且ab，则tan A_解析：ab(bc)cos Aacos C0，即bcos Accos Aacos C，再由正弦定理得sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A，所以sin A，tan A.答案：10已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；所以baabba0.故正确所以正确命题为.答案：311(20xx宿州模拟)已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5， 2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m (2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.1若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0) B(0，2)C(2，0) D(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(2，2)，即a2p2q(2，4)，令axmyn(xy，x2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)2(20xx太原模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B (4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22)因为(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线3.如图，设Ox，Oy为平面内相交成60角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则把有序实数对(x，y)叫作向量在坐标系xOy中的坐标若的坐标为(1，1)(1)求|；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使AOB的面积最小，并求出最小值解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.|1，|1，ONP120，所以|.(2)设|x，|y.mn(mn1)，则mnmxe1nye2.得1.SAOB|sin 60xysin 60xy.因为1，所以2，SAOBxy，当且仅当xy2，即当A(2，0)，B(0，2)时，AOB面积最小，最小值为.