1请指出弹簧的串、并联组合方式的计算方法。确定弹性元件的组合方式是串联还是并联的方法是什么？对两种组合方式分别加以说明。1 n 1答：n个刚度为ki的弹簧串联，等效刚度- 丄；n个刚度为ki的弹簧keq 7 kin并联的等效刚度为keZ ki ；并联弹簧的刚度较各组成弹簧“硬”，串联弹簧较i 二其任何一个组成弹“簧软”。确定弹性元件是串联还是并联的方法：若弹性元件是共位移一一端部位移相 等，则为并联关系；若弹性元件是共力一一受力相等，则为串联关系。2. 非粘性阻尼包括哪几种？它们的计算公式分别是什么？答:非粘性阻尼包括：(1) 库仑阻尼计算公式Fe=-mgsgn；,其中，sgn为符号函数，这里 定义为sgn (x)=爭)，须注意，当x(t)=O时，库仑阻尼力是不定的，它取决x(t)于合外力的大小，而方向与之相反;(2) 流体阻尼计算公式：是当物体以较大速度在粘性较小的流体 (如空气、液体)中运动是，由流体介质所产生的阻尼，计算公式为Fn二- x2 sgn x ；(3) 结构阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼，计算公式为也Es=o(X3. 单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程是什么？其自然频率、振 幅、初相角的计算公式分别是什么?答：单自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程mxkxt =0 ；自然频率:Xo2 -初相角：:二 arcran Vo。0 n x04. 对于单自由度无阻尼系统自由振动， 确定自然频率的方法有哪几种？具体 过程是什么？答：单自由度无阻尼系统自由振动，确定自然频率的方法：（1）静变形法：该方法不需要到处系统的运动微分方程，只需根据静变形的关系就可以确定出固有频率具体如下：k6t=mg，又n =，将这两个式（2）能量法，该方法又可以分为三种思路来求自然频率。A:用能量法确定运动微分方程，然后根据运动微分方程来求自然频率。无 阻尼系统满足能量守恒定律，因此有T V =E二常数，对该式进行求导可得dE =d tv；=0根据此式即可导出运动微分方程，其中 T为质的动能，V为 dt dt弹簧的势能。B：用能量法直接确定固有频率：其原理是依据系统在任意时刻的能量和 （势 能，动能和）相等，因此取两个特殊时刻静平衡位置（动能达到最大值Tmax ）和最大位移处（势能达到最大Vmax），可得Tmax=Vmax该方法不用导出系统运动微分 方程，因此对于复杂系统非常有效。C：用能量法计算弹簧的等效质量，该方法利用弹簧的分布质量对系统振动I频率的影响加以估计，从而得出较准确的频率值。co n = Jk 其中m为弹V m+m 3簧的质量。5. 对于单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是什么？对无阻尼、 小阻尼、过阻尼、临界阻尼的情况分别加以介绍。对于小阻尼情况，其阻尼自然 频率、振幅、初相角的计算公式是什么？答：单自由度有阻尼系统自由振动，其运动微分方程是m x t cx t kx t =0 或 x t 2 nxtn2xt =0。无阻尼：=0，此时运动微分方程的特征方程的特征根为虚数，此时系统运动微分方程的解为：xt二Xcosn-：:其中，X、由初始条件确定此时特征 根在复平面虚轴上，且处于原点对称的位置，此时，xt为等幅振动。小阻尼：（0上1），此时运动微分方程的解为：x（t ）= Xe$t coSdt-申），其中,二：1 - ？，n为有阻尼自然二 arcta nV nXoXo，d系统的特征根为共轭复数，具有负实部，分别位于复平面左半面与实轴对称的位置上；有阻尼系统的自由振动是一种减幅振动，其振幅按指数规律衰减，阻尼率 越大，振幅衰减的越快；特征根的虚部的取值决定了自由振动的频率， 阻尼系统的自然频率完全有系 统本身的特性决定。初始条件 Xo与Vo只影响有阻尼自由振动的初始幅值与初相 角。过阻尼：（；1）xt =X!eSlt X2eS2t，式中，X!、X为由初始条件确定的 常数，特征根为负实数，位于复平面的实轴上这时系统不产生振动很快就趋近平 衡位置。临界阻尼（匕=1），此时系统微分方程的解为：x（t ）=6知Ro +（Vo WnXo界临界阻尼co =2.mk，临界阻尼率=c co。6. 对数衰减率的定义是什么？如何运用对数衰减率计算阻尼率？答：对数衰减率：=l nA-l nA?二2 二2 。其中A、A2为间隔j个周期T的振动位移的两个峰值，利用测得的峰值按公式= 1 In xti可以j 血 + jT ）求得，然后利用公式 - -，当阻尼率 很小时：:：: 1，与4二相比S2 +62可以略去，故的近似计算公式为厶2兀7. 对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，其振幅和相位差的计算公式是什么？放大系数的定义是什么？幅频特性的定义是什么？幅频特性曲线的 特性有哪些？幅频特性的极大值点和极大值是什么?答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动:AJ1 /叫订+（2昴/叫$相位差:rctan11 （込豹* ）放大系数的定义：振幅X与激励的幅值A成比例，即X = HZ A， H rr是无量纲的,1，H )表示动态振动的振幅 X较静态位移A放大的倍数，称为放大系数幅频特性：|H血j)与振幅X之间仅差一个常数A，因此，|H血甘苗述了振幅 与激励频率之间的函数关系，故又称 H审为系统的幅频特性。幅频特性曲线的特性：(1) 当=0时，H)=1，表明所有曲线从H*=1开始。当激励频率很低，即 -n时，H接近于1,说明低频激励时的振动幅值 接近于静态位移。这时的动态效应很小，强迫振动这一动态过程可 以近似地用静变形过程来描述n X 1的这一频率范围又被称为“准静态区”或“刚度区”。在这一区域内，振动系统的特性主要是 弹性元件的作用结果。(2) 当激励频率国很高砒叫 A1时，H)1，且唧旳时，H佃j)T0，说明在高频率激励下，由于惯性的影响，系统来不及 对高频做出响应，因而振幅很小。因此，称为“惯性区”，这一区域内，振动系统的特性主要是质量元件作用的结果。(3) 在激励频率与固有频率相近的范围内，H包审曲线出现峰值，说明此时动态效应很大，振动幅值高出静态位移许多倍，当阻尼率较大时， HQ )峰值较低，反之H审的峰值较高。因此，这一频率范围又被I称为“阻尼区”这一区域内振动系统的特性主要是阻尼元件作用的结果，在此区域中，增大系统的阻尼对振动有很强的抑制效果。(4) 共振不发生在n处，而是发生在略低于，n处，HlQ 的峰值点随的增大而向低频方向移动。当阻尼系数 ：n和半功率带宽- 1带入上式即可求出阻尼率。9. 对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，相频特性的特点是什么?Nyquist图的特点是什么?答：相频特性的特点：（1）当=0时，0 =0,即所有曲线从0 =0开始。当激励频率很低 时，n取值很小，接近于0,说明低频激励时振动位移xt与激励f t之 间几乎是同相；（2）当门时门心：1 ，即Xt与ft的相位相反；（3）当；:n时，十：1 : 2，这正是“阻尼区的特点。Nyquist图的特点：（1）一，的变化范围为0二，所以单自由度系统的Nyquist图位于复平面 的下半平面；（2）随着阻尼率的增大，Nyquist曲线的“环”变小；（3） 在共振区域附近，HD取值很大，甲）变化剧烈，故在Nyquist图I上，共振区域的描述更加清楚，而非共振区域则“缩”得很小，显然，这对于分 析研究共振区域附近的特性是方便的。10. 对于谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动，库仑阻尼、流体阻尼、结构阻尼的等效阻尼系数的计算公式是什么？答：谐波激励下单自由度线性系统的强迫振动库伦阻尼：Ceq = 4 mg ；流体阻尼：Ceq=b|x ；结构阻尼：Ceq = 。兀列X|3兀兀时11. 如何运用Fourier级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析？其幅频响应、放大系数和相位差分别是什么？答：运用Fourier级数分析法对周期激励下的强迫振动响应进行分析的方法：将周期激励分解为基波及其高次谐波的组合，再将对这些谐波的响应进行叠 加这就是Fourier级数分析法。基本步骤：将周期激励函数 f t展开为Fourier级 数，然后根据叠加原理对基波和高次谐波的响应进行叠加：qi （戏0p ）p ex（t）=送 Xp（t 戶送 Xpe吨=送 H（p% Ape吶=送 |H（p% Re何刈）=迟 Xp dpTp 壬pp d放大系数:1H (pco 0 p =；Q1 (PCO 叭 P +(2知肌冷 n f相位差：p(P豹0 )=arcta n 2 2 ；式中，n是单自由度系统的自然1_(P )复频响应:2H Po 二1频率。12. 如何运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析？运 用该方法，当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是什么？ 脉冲响应函数法与Fourier变换法之间的关系是什么？答：(1)运用脉冲响应函数法对非周期激励下的强迫振动响应进行分析：基本思路是将激励ft分解为一系列强度为f .的脉冲，先求得系统对 每一脉冲单独激励的响应，再根据叠加原理对这一系列脉冲响应进行叠加。 从而 得到系统对整个激励f t的响应xt。(2) 当系统还受到初始激励的作用时，单自由度系统的全部响应是：x(t )= f F(e en时d(td + r_Xe-3t coS时d理才 sinwdtm纵Ji 2叫(3) 两种方法的关系：脉冲响应函数法与Fourier变换法是解决同一问题(非周期激励下的强迫振动)的两种不同的方法，从物理意义上看，器根本不同在于对于非周期函数f(t) 进行分解的方式不同：Fourie变换法是将f (t)分解为一系列的谐波，而脉冲响 应函数法则是将f( t)分解为一系列脉冲，不过这两种方法的基础都是叠加原理。从数学处理方法上看Fourier，变换法是求得f (t)的Fourier变换FM，再在频域中由复频响应函数H与F的成绩而求得响应的频谱函数 X，X 二F H ，最后再求XF： i的Fourier逆变换而得到响应xt。脉冲响应函数法则是直接在时间域中求激励函数f( t)与系统的单位脉冲响应函数h t的卷