【高中数学】复习、巩固、模拟学案：选择必修1第一章空间向量与立体几何一、空间向量及运算：（一）空间向量的相关概念1、空间向量的定义 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做向量。方向和大小是向量 的两要素。2、空间向量的表示方法：几何表示：用有向线段表示（2）代数表示:用带箭头的小写字母表示，女叵、用有向线段的起点和终点坐标表示，如匕_3、向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，记作J -44、特殊向量：零向量：长度为0的向量叫作零向量单位向量：模为1的向量叫作单位向量相等向量：长度相等方向相同的向量称为相等向量；相反向量：长度相等方向相反的向量称为相反向量。（二）空间向量的加减、数乘运算：原理：向量为自由向量，具有平移不变性。空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内, 成为同一平面内的两个向量。1、向量加法的三角形法则：OB = OA + AB = a + b首尾连，起点到终点（首尾相连，自始至终）2、向量加法的平行四边形法则：向量共起点，和为对角线。3、向量减法的三角形法则：BA = OAOB = ab共起点，连终点，指向前。4、空间向量三角形加法法则的推广：多边形折线法则首尾顺次相接的若干个空间向量的和等于起始向量的起点指向末尾向量终点的向量（首尾 连，起点到终点）；若首尾顺次相接的若干个空间向量构成一个封闭图形，贝U它们的和为零向量。5、空间向量加法平行四边形法则的推广：平行六面体法则共起点且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公 共始点为始点的对角线所表示的向量._6、向量的数乘运算：实数:与空间向量三的乘积仍为一个向量，称为向量的数乘运算 当0,与向量?方向相同（同向伸缩）当,范围0,珂iT-=vb石V凶,i=v凶,b=2、数量积运算：数量积又叫内积，点乘积a.b 二 |b cos 数量积（内积）等于模积乘夹角余弦值3、数量积性质：两向量垂直，数量积为0（1）a 丄 bo a.b = 0（2）两向量同向,数量积等于模积；两向量反向，数量积等于模积相反数（3）aa = a2 = a a cos = a向量的平方等于模的平方；模的平方等于向量的平方;=询2模等于向量平方的算术平方根； 类似地：I a 土 b I=（a 土 b）2 = a2 土 2a b + b2I a + b + c 1=(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2a b + 2b c + 2c a(4) 夹角公式： a b cosa, b= f 夹角余弦值等于内积比模积。同b （5）数量积不等式:数量积绝对值不大于模积4、数量积运算法则：（1）交换律：ab ba ；（2）数乘交换律：（九a） b =X（ab）（3）分配律：（a + b）c = ac + bc注：数量积运算不满足结合律（a b）C丰逾 C）和消去律（八）空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0 - xyz中，对空间任一点a，存在唯一的有序实数组（x，y，z），F甲使OA = xi + yi + zk，有序实数组（x, y, z）叫作向量A在空间直角坐标系O - xyz中的 坐标，记作A（x, y, z），x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为 (0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 这个基底叫单位正交基底，用 朗,k表示。空间中任一向量a =打+yj+zk = (x,y,z)(3) 空间向量的坐标与其端点坐标的关系：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。特别地，当 向量的起点在原点时，向量坐标就是终点坐标。(九)、空间向量的坐标运算：设 a =(兀，人，z1 ) , b = (x2, y2,纟)，则(1) a + b =(x + x , y + y , z + z )121212 (2) a - b = (x - x , y - y , z - z )121212 两向量的和与差等于这两向量对应坐标的和与差。(3)九a =(九x ,九y ,九z ).i i i实数与向量相乘等于实数与对应坐标分别相乘。(4) a by + z z 121212向量数量积等于对应坐标乘积的和。(5) 若a、b 为非零向量，则a丄b o a b = 0o xx + y y + z z = 0. 1 21 21 2两向量垂直，对应坐标乘积和为0a / /b o a = Xb o x = X x , y = X y , z =九 z1 2 1 2 1 2 若b主0 ,则 x x xO = X (y , y , y 丰 0).y y y -42两向量平行，对应坐标成比例。(7) 冋=Ja - a = ：x2 + y 2模的平方等于等于对应坐标的平方和。模等于坐标平方和的算术平方根。 模的几何意义为长方体对角线的长度。(8) cosa, b= a b+z2ia bxx + y y + z z121 212x 2 + y 2 + z 2 - x 2 + y1 1 1夹角余弦值等于内积比模积。(9)A(x , y , z ), B = (x , y , z ),则 d = |ab| = x x )2 + (y y )2 + (z z 匕.111222AB I I t 212121两点间距离等于同名坐标差的平方和的算术平方根。几个范围：I向量角：0,兀|线线角（异面直线所成角）：（0,- I2线面角：0,才I二面角：0,兀二、立体几何中的向量方法：1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：一一若A、B是直线I上的任意两点，则AB为直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线1的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作n丄幺，如果n丄幺，那么向量n叫做平面a的法向量.平面的法向量的求法：建立适当的坐标系：坚持垂直性原则和对称性原则。找两两垂直的三条直线；找线面 垂直；找面面垂直；充分利用等腰三角形三线合一性质；法一：待定系数法（六步）_一设：设向量：设平面的法向量为 N=（x,y,z）二选：选向量：选取平面内两个不共线的向量：a = (a , a , a ), b = (b , b , b )123123三列：列方程组根据法向量定义建立方程组四解：解方程组，求出三个分坐标的比例关系。五赋：赋值，根据比例关系合理赋值，保证简洁和整数原则。 六得：得到其中一组解，即得平面a的法向量.法二：交叉相乘再相减（积差法）先把两个向量的坐标一上一下对齐写好，然后交叉相乘再相减。注意交叉的顺序要一样! 最后中间加上负号。（上下对齐，交叉积差，顺序相同，中间变号）如;上面a、b的法向量就为：（a2b3-a3b2 a3b1-a1b3, a2b1-a1b2）注意：如果求下来的坐标比较复杂，就把坐标的三个数值同时除以公因数，取最简。做解答题的时候建议先把方程列下来，然后用差积法直接在后面写出法向量法三：几何法：找或证明线面垂直：则此线就是平面的法向量。2、用向量方法判定空间中的平行关系直线T方向向量，平面T法向量:同类相同，异类相异线线平行设直线1 , 1的方向向量分别是a、，则要证明1 1，只需证明a b，即a = kb（k e R）.1 2 1 2即：两直线平行或重合o两直线的方向向量共线。线面平行 （法一）设直线1的方向向量是a，平面a的法向量是u，则要证明1 a，只需证明 a 丄 u，即 a - u = 0.即：直线与平面平行o直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 （法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方 向向量是共线向量即可.面面平行若平面a的法向量为u，平面卩的法向量为v，要证a 卩，只需证u v，即证u二九v . 即:两平面平行或重合o两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系 直线T方向向量，平面T法向量:同类相同，异类相异。线线垂直设直线12的方向向量分别是a、，则要证明1丄i2,只需证明a丄b，即a -b=o. 即:两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线1的方向向量是a，平面a的法向量是u，则要证明1丄a，只需证明a