2017届安徽省宿州市高三第一次教学质量检测（期末）数学（理）试题一、选择题1已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。2复数满足，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以复数的虚部是，应选答案C。3向量，满足，则在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以，则在方向上的投影为，应选答案B。4下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入，的值分别为，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由算法流程图中提供的算法程序可以看出：第一步，则，第二步则令；第三步再令，再令，这时运算程序结束，输出，应选答案B。5函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以函数是偶函数，当时，若，函数单调递减；若，函数单调递增，则，结合图像的对称性可知应选答案C。6已知不等式组表示的平面区域为，点集，是在上取得最大值或最小值的点，则中的点的纵坐标之和为（ ）A. B. C. D. 16【答案】D【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线分别经过点和直线上的点时，动直线在轴上的截距最大，这时所有坐标之和为，应选答案D。7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】从三视图所提供是图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是直角三角形高为5 的三棱柱去掉一个三棱锥剩余的几何体。如图，其表面由两个直角梯形、一个矩形与两个直角三角形构成。其面积为，应选答案D。8将函数的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像，则函数的图像与函数的图像（ ）A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称【答案】B【解析】将函数的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的解析式，故两个函数的图像关于点对称，应选答案B。9已知的展开式中与的项的系数之比为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】在二项式的展开式中项的系数是，在二项式的展开式中项的系数是。由题设可得，即，所以（当且仅当取等号），应选答案C。10以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）命题“若，则”的逆否命题是真命题；已知，是不同的平面，是不同的直线，则；直线，的充要条件是；.A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于答案，由于原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题，因此是正确的；如对于答案，其中满足条件的两直线，也可以平行，因此不正确；对于答案，由于是直线，平行的充分条件，但不必要，因此不正确；对于答案，由于函数是奇函数，则成立，故是正确的。综上四个命题中，命题是真命题，故应选答案B。11在中，一只小蚂蚁从的内切圆的圆心处开始随机爬行，当蚂蚁（在三角形内部）与各边距离不低于个单位时其行动是安全的，则这只小蚂蚁在内任意行动时安全的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由勾股定理可知是直角三角形，如图，因，内切圆的半径为，则，故，所以蚂蚁在图中阴影部分内行动是安全的，由于两内切圆的半径之比是，故两直角三角形的面积之比是，即所求概率为，应选答案A。点睛：解答本题是关键是高清蚂蚁行动的区域和范围，探求范围时充分借助题设条件，先求出直角三角形的内切圆的半径，再依据相似三角形的相似比与面积比的关系使得问题简捷、巧妙获解。12函数在上的导函数为，对于任意的实数，都有，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则，即函数是单调递减函数，则原不等式可化为，由函数的单调性可得，应选答案A。点睛：解答本题的关键是构造出符合题设的函数，然后计算出，则，即函数，从而将不等式进行等价转化，最后再借助函数的单调性建立不等式，使得问题获解。二、填空题13已知函数，则_【答案】【解析】因，故，应填答案。14在三棱锥中，侧棱，两两垂直，、的面积分别为、，则三棱锥的外接球的体积为_【答案】【解析】设，则由题设可得，解之得，所以以，为棱的正方体与该三棱锥具有共同的外接球，外接球的直径，即，故外接球的体积，应填答案。15已知点是的重心，内角、所对的边长分别为、，且，则角的大小是_【答案】【解析】由向量的平行四边形法则可得，代入可得，故，则。由余弦定理可得，故，应填答案。点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口。求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系，最后运用余弦定理求出，使得问题获解。16直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，与其准线交于点，若，则_【答案】【解析】设，则，由题设可得，即，则，即直线的倾斜角为，所以，又，即，故，应填答案。点睛：解答本题的关键是借助题设条件，确定交点的坐标，进而确定直线的斜率与倾斜角，数形结合求得，然后再依据已知条件建立方程求出，使得问题获解。三、解答题17数列的前项和满足，且，成等差数列.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】【试题分析】（）依据题设与等比数列的定义探求；（）运用转化思想与等比数列的求和公式求解：解：（）由，当时，由-得，即.由，成等差数列，得，即，解得.故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（），则.，所以数列的前项和.18如图所示，四边形为等腰梯形，为直角三角形，平面与平面垂直，点、分别是、的中点.过点作平行于平面的截面分别交、于点、，是的中点.（）证明：；（）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（）详见解析（）【解析】【试题分析】（）依据题设先证明线面垂直，再证明线线垂直；（）建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，运用转化思想进行求解：（）证明：因为点、分别是等腰梯形两底、的中点，所以.又，则.于是等腰梯形与直角所成二面角的平面角为，则.即，得平面.又平面平面，则平面.因为平面，所以.（）以为原点，分别以，为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，.所以，有，平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，得设平面的法向量为，由，得，取，得，所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.点睛：解答本题的第一问时，充分借助转化与化归的数学思想，将线线垂直的问题等价转化为证明线面的垂直来处理；求解第二问时，则构建空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式求解，使得问题的求解有章可循。19某综艺节目为增强娱乐性，要求现场嘉宾与其场外好友连线互动.凡是拒绝表演节目的好友均无连线好友的机会；凡是选择表演节目的好友均需连线未参加过此活动的个好友参与此活动，以此下去.（）假设每个人选择表演与否是等可能的，且互不影响，则某人选择表演后，其连线的个好友中不少于个好友选择表演节目的概率是多少？（）为调查“选择表演者”与其性别是否有关，采取随机抽样得到如下列表：选择表演拒绝表演合计男501060女101020合计602080根据表中数据，是否有的把握认为“表演节目”与好友的性别有关？将此样本的频率视为总体的概率，随机调查名男性好友，设为个人中选择表演的人数，求的分布列和期望.附：；0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（）（）【解析】解析（）这位好友选择表演分别记为，则，分别表示这位好友拒绝表演.这位好友参与该活动的可能结果为，共有种.其中位好友不少于位好友选择表演的可能结果有种.根据古典概型公式，所求概率为.（也可用二项分布、对称性等方法来求解）（）根据列联表，得到的观测值，所以有的把握认为“表演节目”与好友的性别有关.由题意，每名男性选择表演的概率为，则，所以随机变量的概率分布列为：故随机变量的期望为.20已知椭圆，焦距为，离心率为.（）求椭圆的标准方程；（）过点作圆的切线，切点分别为、，直线与轴交于点，过点的直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.【答案】（）（）详见解析【解析】解（）由题意，解得，由，解得.所以椭圆的标准方程为（）由题意，得、四点共圆，该圆的方程为，又圆的方程为，故直线的方程为，令，得，即点的坐标为，则点关于轴的对称点为.设，则，因此最大，就最大.由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，由得，所以，.又因直线与椭圆交于不同的两点，故，即，则令，则，.令，则函数在上单调递增，即当时，在上单调递增，因此有，所以.21设函数.（）讨论的单调性；（）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系并给出证明.【答案】（）当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（）详见解析【解析】【试题分析】（）依据题设条件先求导，再分类讨论探求；（）借助题设条件，运用等价转化与化归的数学思想进行转化，然后再运用导数的知识分析探求：解（）的定义域为，.当时，则，所以在上单调递增.当时，则由得，（舍去）.当时，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（）由（）知，当时，存在极值.由题设得.又，所以.设，则，则.令，则，所以在上单调递增，所以，故.又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道综合运用导数知识的问题。在求解第一问时，直接运用导数的求导法则与分类整合思想，借助导数与函数的单调性之间的关系求出单调性与其单调区间；第二问的求解过程中先将问题进行等价化归与转化为计算的值的符号与单调性问题。然后再运用换元法构造函数，运用导数的有关知识分析推证，最后使得问题获解。22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数，）.（）以为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；（）若曲线与曲线相交于点、，求.【答案】（）（）【解析】【试题分析】（）依据题设直接消参数；（）借助题设条件化为普通方程，运用直线与圆的位