妙用绝对值性质解题通城二中 何国雄定理|a|-|b|ab|a|+|b|在形式上很简单，但在实际处理一些题目时能取到一些意想不到的效果，常利用此不等式进行放缩，证明有关绝对值不等式及解决相关问题。当然上面的定理实际上包括下面两种情况，特别要注意不等式何时取等号条件，这有时是解题致命的地方：（1） |a|-|b|a+b|a|+|b|,左边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b异号且|a|不比|b|小，右边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b同号;（2） |a|-|b|a-b|a|+|b|左边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b同号且|a|不比|b|小，右边取等号条件是a与b至少有一个为0或a与b异号.下面就如何运用上面定理妙解不等式举例说明。一、运用定理取等号条件速求参数范围例1 若不等式|x+|x|+|对0x0即x1则原不等式的解集为(1,+)三、利用|a+b|a|+|b|巧解不等式例3 解不等式|x-1|+|x+2|5解：由|2x+1|=|(x-1)+(x+2)| |x-1|+|x+2|5得-3xa恒成立，则a的取值范围是-解：由定理得|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，故|x+1|+|x-2|最小值为3，所以a的取值范围是(-,3)。2、 凑常数借助定理巧证不等式例5 已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax+bx+c,当-1x1时，|f(x)|1,求证：|b|1证明：当-1x1时，|f(x)|1,|c|=|f(0)|12b=f(1)- f(-1)|2b|= |f(1)- f(-1)| | f(1)|+|f(-1)| 1+1=2|2b|=2 则|b|1.五、借助定理巧求函数值域例6 求函数y=|x-|-|x+|值域解：|y|=|x-|-|x+| |(x-)-(x+)|1故-1y1,所求函数值域为-1,1。六、借助函数单调性巧用定理证明不等式例7 已知a、b是实数,求证：+解：构造函数f(x)=，当x-1时显然该函数单调递增。因为0|a+b|a|+|b|，所以+，所以+成立。七、巧用推广的定理妙证不等式|a+ a+a|a+ a+a|取等号的条件为a, a,a中至少有n-1个为0,或全部同号.例8函数 f(x)=ax+bx+c(a0),当-1x1时，总有|f(x)|1且g(x)=cx+bx+a,求证:当-1x1时,|g(x)|2证明：a= f(1)+ f(-1)-2f(0),b= f(1)-f(-1),c= f(0), 当-1x1时，总有|f(x)|1|f(1)|1, |f(-1)|1, |f(0)|1|g(x)|=|cx+bx+a|=| f(0)x+ f(1)-f(-1)x+ f(1)+ f(-1)-2f(0)|=|( x-1) f(0)+ f(1)+ f(-1)|x-1|+|+| (1- x)+ 2- x2这个定理不仅为处理不等式提供了有效的思路方法，而且对于提高知识的迁移能力，培养创造性思维也有裨益。这就要求我们在平时学习时要注意知识间的沟通与联系，尤其是横向联系，并能从不同的角度、不同的方向去审视，就容易发现转化的入口处，这样才能为灵活解题、善于变换命题打下坚实的基础。