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线性代数考试题型及范围:一、填空1、已知矩阵A或B,求A与B之间的运算,如AB, A逆B逆,kA2、已知方阵A,求A的行列式,A的伴随矩阵,A的伴随矩阵的行列式3、求向量组的秩4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式5、其次线性方程组有非零解的充要条件二、选择1、同阶方阵A、B的运算性质2、两个相似矩阵 A B 的性质3、关于向量线性相关性的选择题4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系5、二次型正定性的判定三、计算题1、行列式的计算2、求A的逆矩阵四、解答题1、求向量组的极大线性无关组2、用基础解析求方程组的通解五、给定实对称矩阵A,求可逆阵P,使P-1AP为对角阵六、证明题:(关于矩阵,具体内容未知)记住这些话:第一句话:题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开 定理以及 AA*=A*A=|A|E 。第二句话:若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话:若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出因子aA+bE, I t再说。第四句话:若要证明一组向量a1,a2,as线性无关,先考虑用定义再说。第五句话:若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。第六句话:若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。第七句话:若已知A的特征向量p,则先用定义Ap=Ap处理一下再说。第八句话:若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。线性代数复习提纲 第一部分:基本要求(计算方面) 四阶行列式的计算;N 阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算) 求矩阵的秩、逆(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论; 齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多解); 讨论一个向量能否用和向量组线性表示; 讨论或证明向量组的相关性; 求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示; 将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量; 讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩阵及对角阵; 通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵; 判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:基本知识一、行列式1行列式的定义用n人2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2行列式的计算一阶|a|=a行列式,二、三阶行列式有对角线法则;N阶(n=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开 降阶。特殊情况(1)上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:I行列式某行(列)元素全为0;II行列式某行(列)的对应元素相同;III行列式某行(列)的元素对应成比例;W奇数阶的反对称行列式。二矩阵1.矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等);2矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论: 矩阵乘法一般不满足交换律(若AB=BA,称A、B是可交换矩阵); 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; 若A、B为同阶方阵,则|AB| = |A|*|B|; |kA|=S n|A|3矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2) 秩的求法一般不用定义求,而用下面结论:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此元开始往下全为0 的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义:A、B为n阶方阵,若AB=BA=I,称A可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);(2) 性质:(AB)人-1=(B1)*(A1), (A)A-1=(AA-1); (A B 的逆矩阵,你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件: |A|WO;r(A)=n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法A1=(1/|A|)A*; (A* A的伴随矩阵)初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A-1)5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,贝y X=(AA-1)B;XB=A,贝y X=B(AA-1);AXB=C,则 X=(AA-1)C(BA-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定定理:r(A,b)知(A)无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解; 特别地:对齐次线性方程组 AX=0(1) r(A)=n 只有零解;(2) r(A)n 有非零解;再特别,若为方阵,(1) |A|WO只有零解(2) |A|=0 有非零解2齐次线性方程组(1) 解的情况:r(A)=n,(或系数行列式DWO)只有零解;r(A)vn,(或系数行列式D=0)有无穷多组非零解。( 2)解的结构:X=c1a1+c2a2+.+C n-ra n-r。( 3)求解的方法和步骤:将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; 写出对应同解方程组; 移项,利用自由未知数表示所有未知数; 表示出基础解系; 写出通解。3非齐次线性方程组(1)解的情况:利用判定定理。(2)解的结构:X=u+c1a1+c2a2+.+C n-ran-r。(3)无穷多组解的求解方法和步骤: 与齐次线性方程组相同。(4)唯一解的解法: 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1 N 维向量的定义 注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2向量的运算: (1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同);(2)向量内积 aB=a1b1+a2b2+.+anbn;( 3)向量长度|a|=Vaa=V(a1人2+a2人2+.+an人2) (V 根号)(4)向量单位化 (1/|a|)a;( 5)向量组的正交化(施密特方法)设al, a 2,,an线性无关,则p1=a1,p2=a2- (a2p1/p1p) *p1,p3=a3- (a3p1/p1p1) *p1- (a3p2/p2p2) *p2,3线性组合(1) 定义 若B=k1a1+k2a 2+.+knan,则称p是向量组al, a 2,an的一个线性 组合,或称p可以用向量组al, a 2,,an的一个线性表示。(2) 判别方法 将向量组合成矩阵,记A=(a1, a 2,,an), B=(a1, a2,,an,p)若r (A)=r (B),则p可以用向量组al, a 2,,an的一个线性表示;若r (A)r (B),则p不可以用向量组al, a 2,,an的一个线性表示。(3) 求线性表示表达式的方法:将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵,则最后一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性(1) 线性相关与线性无关的定义设 k1a1+k2a2+.+knan=0,若k1,k2,., kn不全为0,称线性相关;若k1,k2,., kn全为0,称线性无关。( 2)判别方法: r(a1, a 2,,an)=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展 开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角
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