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第4讲 直接证明与间接证明1用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是()A自然数a,b,c中至少有两个偶数B自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C自然数a,b,c都是奇数D自然数a,b,c都是偶数解析:选B.“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”故选B.2分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设abc,且abc0,求证:0B.ac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析:选C.ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选C.3设a,b,c,则a、b、c的大小顺序是()Aabc B.bcaCcab Dacb解析:选A.因为a,b,c,且0,所以abc.4设x,y,z0,则三个数,()A都大于2 B.至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析:选C.假设三个数都小于2,则b0,m,n,则m,n的大小关系是_解析:法一:取a2,b1,得mn.法二:a0,显然成立,故mn.答案:mn7已知点An(n,an)为函数y图象上的点,Bn(n,bn)的函数yx图象上的点,其中nN*,设cnanbn,则cn与cn1的大小关系为_解析:由条件得cnanbnn,所以cn随n的增大而减小,所以cn1cn.答案:cn1cn8关于x的方程axa10在区间(0,1)内有实根,则实数a的取值范围是_解析:当a0时,方程无解当a0时,令f(x)axa1,则f(x)在区间(0,1)上是单调函数,依题意,得f(0)f(1)0,所以(a1)(2a1)0,所以a0,则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B.恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析:选A.由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1x20,可知x1x2,f(x1)f(x2)f(x2),则f(x1)f(x2)b,则f(f(b)f(b)b,与题意不符,若f(b)b,则f(f(b)f(b)b,与题意也不符,故f(b)b,即f(x)x在0,1上有解所以x,aexx2x,令g(x)exx2x,g(x)ex2x1(ex1)2x,当x0,1时,ex12,2x2,所以g(x)0,所以g(x)在0,1上是增函数,所以g(0)g(x)g(1)1g(x)e,即1ae,故选A.3对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)(c,d),当且仅当ac,bd;运算“”为:(a,b)(c,d)(acbd,bcad);运算“”为:(a,b)(c,d)(ac,bd),设p,qR,若(1,2)(p,q)(5,0),则(1,2)(p,q)()A(4,0) B.(2,0)C(0,2) D(0,4)解析:选B.由(1,2)(p,q)(5,0)得所以(1,2)(p,q)(1,2)(1,2)(2,0)4若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1,在区间1,1内至少存在一点c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_解析:法一:(补集法)令解得p3或p,故满足条件的p的取值范围为.法二:(直接法)依题意有f(1)0或f(1)0,即2p2p10或2p23p90,得p1或3p,故满足条件的p的取值范围是.答案:5已知数列an满足a1,且an1(nN*)(1)证明:数列是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)设bnanan1(nN*),数列bn的前n项和记为Tn,证明:Tn0,所以Tn0)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)0,且0x0.(1)证明:是f(x)0的一个根;(2)试比较与c的大小;(3)证明:2b1.解:(1)证明:因为f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)0有两个不等实根x1,x2,因为f(c)0,所以x1c是f(x)0的根,又x1x2,所以x2,所以是f(x)0的一个根(2)假设0,由0x0,知f0与f0矛盾,所以c,又因为c,所以c.(3)证明:由f(c)0,得acb10,所以b1ac.又a0,c0,所以b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2,即0,所以b2,所以2b1.1
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