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高考必考题突破讲座(四)1如图,菱形ABCD中,ABC60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,ABAE2.(1)求证:BD平面ACFE;(2)当直线FO与平面BED所成的角为45时,求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小解析 (1)因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC.因为AE平面ABCD,BD平面ABCD,所以BDAE.因为ACAEA,所以BD平面ACFE.(2)以O为原点,的方向为x,y轴正方向,过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则B(0,0),D(0,0),E(1,0,2),F(1,0,a)(a0),(1,0,a)设平面EBD的法向量为n(x,y,z),则有即令z1,则n(2,0,1),由题意得sin 45|cos,n|.因为a0,所以解得a3.所以(1,0,3),(1,2),所以cos,.故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.2(2019河南郑州模拟)如图,在ABC中,ABC,O为AB边上一点,且3OB3OC2AB,已知PO平面ABC,2DA2AOPO,且DAPO.(1)求证:平面PBAD平面COD;(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值解析 (1)证明:因为OBOC,又因为ABC,所以OCB,所以BOC,即COAB.又PO平面ABC,OC平面ABC,所以POOC.又因为PO,AB平面PAB,POABO,所以CO平面PAB,即CO平面PBAD.又CO平面COD,所以平面PBAD平面COD.(2)以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示设|OA|1,则|PO|OB|OC|2,|DA|1.则C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,1,1),所以(0,1,1),(2,2,0),(0,3,1)设平面BDC的法向量为n(x,y,z),所以所以令y1,则x1,z3,所以n(1,1,3)设PD与平面BDC所成的角为,则sin .即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为.3(2019湖北武汉调考)如图, 四棱锥SABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,ABBC2,CDSD1.(1)证明:SD平面SAB;(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值解析 方法一(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,则D(1,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0),设S(x,y,z),则x0,y0,z0,且(x2,y2,z,),(x,y2,z).(x1,y,z)由|,得,得x1,由|1得y2z21,由|2得y2z24y10,由解得y,z,所以S,所以0,0,所以DSAS,DSBS,又ASDSS,所以SD平面SAB.(2)设平面SBC的一个法向量为m(a,b,c),(0,2,0),(2,0,0),由得所以可取m(,0,2),故AB与平面SBC所成的角的正弦值为cosm,.方法二(1)证明:如下图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,所以DECB2,所以AD.因为侧面SAB为等边三角形,AB2,所以SASBAB2,且SE,又SD1,所以SA2SD2AD2,SE2SD2ED2,所以SDSA,SDSB,又ASDSS,所以SD平面SAB.(2)作S在DE上的射影G,因为ABSE,ABDE,AB平面SDE,所以平面SDE平面ABCD,两平面的交线为DE,所以SG平面ABCD,在RtDSE中,由SDSEDESG得12SG,所以SG,作A在平面SBC上的射影H,则ABH为AB与平面SBC所成的角,因为CDAB,AB平面SDE,所以CD平面SDE,所以CDSD,在RtCDS中,由CDSD1,求得SC.在SBC中,SBBC1,SC,所以SSBC,由VASBCVSABC得SSBCAHSABCSG,即AH22,得AH,所以sin ABH,故AB与平面SBC所成的角的正弦值为.4(2019安徽江南名校联考)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,DC6,AD8,BC10,PAD45,E为PA的中点(1)求证:DE平面BPC;(2)线段AB上是否存在一点F,满足CFDB?若存在,试求出二面角FPCD的余弦值;若不存在,请说明理由解析 (1)证明:取PB的中点M,连接EM和CM,过点C作CNAB,垂足为点N.因为CNAB,DAAB,所以CNDA,又ABCD,所以四边形CDAN为平行四边形,所以CNAD8,DCAN6,在RtBNC中,BN6,所以AB12,而E,M分别为PA,PB的中点,所以EMAB且EM6,又DCAB,所以EMCD且EMCD,四边形CDEM为平行四边形,所以DECM.因为CM平面PBC,DE平面PBC,所以DE平面BPC.(2)由题意可得DA,DC,DP两两互相垂直,如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A(8,0,0),B(8,12,0),C(0,6,0),P(0,0,8)假设AB上存在一点F使CFBD,设点F坐标为(8,t,0),则(8,t6,0),(8,12,0),由0得t.又平面DPC的法向量为m(1,0,0),设平面FPC的法向量为n(x,y,z)又(0,6,8),.由得即不妨令y12,有n(8,12,9)则cosn,m.又由图可知,该二面角为锐二面角,故二面角FPCD的余弦值为.5(2017山东卷)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是的中点(1)设P是上的一点,且APBE,求CBP的大小;(2)当AB3,AD2时,求二面角EAGC的大小解析 (1)因为APBE,ABBE,AB,AP平面ABP,ABAPA,所以BE平面ABP,又BP平面ABP,所以BEBP,又EBC120,因此CBP30.(2)方法一取的中点H,连接EH,GH,CH.因为EBC120,所以四边形BEHC为菱形,所以AEGEACGC.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EMAG,CMAG,所以EMC为所求二面角的平面角又AM1,所以EMCM2.在BEC中,由于EBC120,由余弦定理得EC22222222cos 12012,所以EC2,因此EMC为等边三角形,故所求的角为60.方法二以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,3),C(1,0),故(2,0,3),(1,0),(2,0,3),设m(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12,可得平面AEG的一个法向量m(3,2)设n(x2,y2,z2)是平面ACG的法向量由可得取z22,可得平面ACG的一个法向量n(3,2)所以cosm,n.由图可得此二面角为锐二面角,故所求的角为60.6(2017全国卷)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABDCBD,ABBD.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC的余弦值 解析 (1)证明:由题设可得ABDCBD,从而ADCD.又ACD是直角三角形,所以ADC90.取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DOAO.又因为ABC是正三角形,故BOAC,所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中,BO2AO2AB2,又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故BOD90.所以平面ACD平面ABC. (2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(1,0,0),B(0,0),C(1,0,0),D(0,0,1)由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E,故(1,0,1),(2,0,0),.设n(x,y,z)是平面DAE的法向量,则即可取n.设m是平面AEC的法向量,则同理可取m(0,1,),则cosn,m.所以二面角DAEC的余弦值为.1
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