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第2讲 一元二次不等式的解法1不等式(x2)(2x3)0的解集是()A.(2,)B.RC. D解析:选C.因为不等式(x2)(2x3)0,解得x2,所以不等式的解集是.2不等式1的解集为()A.B.C(,2)D(,2解析:选B.11000020的解集为x|3x0的解集是()A. B.C. D.解析:选C.由题意得方程ax25xb0的两根分别为3,2,于是则不等式bx25xa0,即为30x25x50,即(3x1)(2x1)0,x.故选C.4规定符号“”表示一种运算,定义abab(a,b为非负实数),若1k23,则k的取值范围是()A(1,1) B.(0,1)C(1,0) D(0,2)解析:选A.因为定义abab(a,b为非负实数),1k23,所以1k23,化为(|k|2)(|k|1)0,所以|k|1,所以1k1.5若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集,则a的取值范围是()A4,1 B.4,3C1,3 D1,3解析:选B.原不等式为(xa)(x1)0,当a1时,不等式的解集为a,1,此时只要a4即可,即4a1时,不等式的解集为1,a,此时只要a3即可,即1b的解集为,则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_解析:由已知axb的解集为,可知a0两边同除以a,得x2x0,即x2x0,即5x2x40,解得1x,故所求解集为.答案:7若关于x的不等式x2ax10的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为_解析:令f(x)x2ax1,由题意可得,解得2a.答案:2,)8当且仅当a(m,n)时,0恒成立,所以原不等式等价于2axx20恒成立所以(a3)280,32a32.依题意有m32,n32,所以mn6.答案:69已知函数f(x)ax2(b8)xaab,当x(,3)(2,)时,f(x)0.(1)求f(x)在0,1内的值域;(2)若ax2bxc0的解集为R,求实数c的取值范围解:(1)因为当x(,3)(2,)时,f(x)0.所以3,2是方程ax2(b8)xaab0的两根,所以所以a3,b5.所以f(x)3x23x183.因为函数图象关于x对称且抛物线开口向下,所以f(x)在0,1上为减函数,所以f(x)maxf(0)18,f(x)minf(1)12,故f(x)在0,1内的值域为12,18(2)由(1)知不等式ax2bxc0可化为3x25xc0,要使3x25xc0的解集为R,只需即2512c0,所以c,所以实数c的取值范围为.10解关于x的不等式ax2(2a1)x20(aR)解:原不等式可化为(ax1)(x2)0时,原不等式可以化为a(x2)0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x2)0.因为方程(x2)0的两个根分别是2,所以当0a时,2时,2,则原不等式的解集是.(2)当a0时,原不等式为(x2)2,即原不等式的解集是x|x2(3)当a0时,原不等式可以化为a(x2)0,由于2,故原不等式的解集是.综上所述,当a2;当0a时,不等式的解集为.1若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()A(,2) B.(2,)C(6,) D(,6)解析:选A.不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max.令g(x)x24x2,x(1,4),所以g(x)g(4)2,所以a2,故选A.2在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中恰有两个整数,则a的取值范围是()A(3,4) B.(2,1)(3,4)C(3,4 D2,1)(3,4解析:选D.由题意得,原不等式化为(x1)(xa)1时,解得1xa,此时解集中的整数为2,3,则3a4;当a1时,解得ax1,此时解集中的整数为0,1,则2a0恒成立,则实数a的取值范围为_解析:因为x1,)时,f(x)0恒成立,即x22xa0恒成立即当x1时,a(x22x)恒成立设g(x)(x22x),而g(x)(x22x)(x1)21在1,)上单调递减,所以g(x)maxg(1)3,故a3.所以,实数a的取值范围是(3,)答案:(3,)5求使不等式x2(a6)x93a0,|a|1恒成立的x的取值范围解:将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因为f(a)0在|a|1时恒成立,所以(1)若x3,则f(a)0,不符合题意,应舍去(2)若x3,则由一次函数的单调性,可得即解得x4.所以x的取值范围是x|x46设二次函数f(x)ax2bxc,函数F(x)f(x)x的两个零点为m,n(m0的解集;(2)若a0,且0xmn0,即a(x1)(x2)0.当a0时,不等式F(x)0的解集为x|x2;当a0的解集为x|1x0,且0xmn,所以xm0.所以f(x)m0,即f(x)m.1
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