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北师大版七年级下册数学培优压轴题一解答题(共8小题)1已知四边形ABCD中,AB=BC,ABC=120,MBN=60,MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F当MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;当MBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明2(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B=D=90,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD求证:EF=BE+FD;(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD,(1)中的结论是否仍然成立?(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B+ADC=180,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且EAF=BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明3如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中C=90,B=E=30(1)操作发现如图2,固定ABC,使DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是 ;设BDC的面积为S1,AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是 (2)猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC=60,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DEAB交BC于点E(如图4)若在射线BA上存在点F,使SDCF=SBDE,请直接写出相应的BF的长4如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD(1)当APC与PBD的面积之和取最小值时,AP= ;(直接写结果)(2)连接AD、BC,相交于点Q,设AQC=,那么的大小是否会随点P的移动而变化?请说明理由;(3)如图2,若点P固定,将PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180),此时的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)5如图1,RtABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状,并加以证明说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明1、画出将BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90后图形;2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(ACKN,如图2)附加题:如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断DEF的形状,并说明理由6如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,DMN为等边三角形(点M的位置改变时,DMN也随之整体移动)(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由;(2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由;(3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请直接写出结论,不必证明或说明理由7已知:等边三角形ABC(1)如图1,P为等边ABC外一点,且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图2,P为等边ABC内一点,且APD=120求证:PA+PD+PCBD8认真阅读材料,然后回答问题:我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3,下面我们依次对(a+b)n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题:(1)多项式(a+b)n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;(2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和(3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)n(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示)2018年05月08日wujun的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题(共8小题)1已知四边形ABCD中,AB=BC,ABC=120,MBN=60,MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F当MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF;当MBN绕B点旋转到AECF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明【解答】解:ABAD,BCCD,AB=BC,AE=CF,在ABE和CBF中,ABECBF(SAS);ABE=CBF,BE=BF;ABC=120,MBN=60,ABE=CBF=30,AE=BE,CF=BF;MBN=60,BE=BF,BEF为等边三角形;AE+CF=BE+BF=BE=EF;图2成立,图3不成立证明图2延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,在BAE和BCK中,则BAEBCK,BE=BK,ABE=KBC,FBE=60,ABC=120,FBC+ABE=60,FBC+KBC=60,KBF=FBE=60,在KBF和EBF中,KBFEBF,KF=EF,KC+CF=EF,即AE+CF=EF图3不成立,AE、CF、EF的关系是AECF=EF2(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B=D=90,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD求证:EF=BE+FD;(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B+D=180,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD,(1)中的结论是否仍然成立?(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B+ADC=180,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且EAF=BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明【解答】证明:(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AGABG=ABC=D=90,AB=AD,ABGADFAG=AF,1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE,AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立(3)结论EF=BE+FD不成立,应当是EF=BEFD证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AGB+ADC=180,ADF+ADC=180,B=ADFAB=AD,ABGADFBAG=DAF,AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE,AEGAEFEG=EFEG=BEBGEF=BEFD3如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中C=90,B=E=30(1)操作发现如图2,固定ABC,使DEC绕点C旋转,当点D恰好落在AB边上时,填空:线段DE与AC的位置关系是DEAC;设BDC的面积为S1,AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时,小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC=60,点D是角平分线上一点,BD=CD=4,DEAB交BC于点E(如图4)若在射线BA上存在点F,使SDCF=SBDE,请直接写出相应的BF的长【解答】解:(1)DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上,AC=CD,BAC=90B=9030=60,ACD是等边三角形,ACD=60,又CDE=BAC=60,ACD=CDE,DEAC;B=30,C=90,CD=AC=AB,BD=AD=AC,根据等边三角形的性质,ACD的边AC、AD上的高相等,BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;故答案为:DEAC;S1=S2;(2)如图,DEC是由ABC绕点C旋转得到,BC=CE,AC=CD,ACN+BCN=90,DCM+BCN=18090=90,ACN=DCM,在ACN和DCM中,ACNDCM(AAS),AN=DM,BDC的面积和AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等),即S1=S2;(3)如图,过点D作DF1BE,易求四边形BEDF1是菱形,所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,此时SDCF1=SBDE;过点D作DF2BD,ABC=60,F1DBE,F2F1D=ABC=60,BF1=DF1,F1BD=ABC=30,F2DB=90,F1DF2=ABC=60,DF1F2是等边三角形,DF1=DF2,BD=CD,ABC=60,点D是角平分线上一点,DBC=DCB=60=30,CDF1=180BCD=18030=150,CDF2=36015060=150,CDF1=CDF2,在CDF1和CDF2中,CDF1CDF2(SAS),点F2也是所求的点,ABC=60,点D是角平分线上一点,DEAB,DBC=BDE=ABD=60=30,又BD=4,BE=4cos30=2=,BF1=,BF2=BF1+F1F2=+=,故BF的长为或4如图1,
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