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第32课时直线与圆的方程的应用对应学生用书P89 知识点一直线与圆的方程在平面几何中的应用1已知两点A(2,0),B(0,2),点C是圆x2y22x0上任意一点,则ABC面积的最小值是()A3 B3 C3 D答案A解析由题意,得lAB:xy20,圆心为(1,0),所以圆心到lAB的距离d,所以AB边上的高的最小值为1又|AB|2,所以ABC面积的最小值是232若直线axby1与圆x2y21相交,则点P(a,b)在圆x2y21的_(填圆上、圆外或圆内)答案圆外解析由题意得1,所以点P(a,b)在圆外知识点二直线与圆的方程在实际生活中的应用3在位于城市A南偏西60相距100海里的B处,一股台风沿着正东方向袭来,风速为120海里/时,台风影响的半径为r(r50)海里;(1)若r70,求台风影响城市A持续的时间(精确到1分钟)?(2)若台风影响城市A持续的时间不超过1小时,求实数r的取值范围解(1)由题意,|AB|70,|AC|50,则|BC|20,风速为120海里/时,台风影响城市A持续的时间为26049分钟(2)由题意,|AB|r,|BC|60, 60,r50,503,b3),乙的速度为v,则甲的速度为3v依题意,有解得所以乙向北前进375 km时甲、乙两人相遇知识点三坐标法证明几何问题5如图,直角ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(m,0),C(m,0),P(n,0),Q(n,0)设A(x,y),由已知,点A在圆x2y2m2上|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)对应学生用书P90 一、选择题1已知直线yax与圆C:x2y22ax2y20交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则圆C的面积为()A49 B36 C7 D6答案D解析将x2y22ax2y20变形为(xa)2(y1)2a21,由题意,可得圆心C(a,1)到直线yax的距离dr ,得a27或1(舍去),故圆C的面积为()26选D2若直线ykx1与圆x2y2kxy90的两个交点恰好关于y轴对称,则k()A0 B1 C2 D3答案A解析解法一:将两方程联立消去y,得(k21)x22kx90,由题意此方程两根之和为0,故k0解法二:直线ykx1与圆x2y2kxy90的两个交点恰好关于y轴对称,所以圆心在y轴上,因此k03已知点M(a,b)(ab0)是圆x2y2r2(r0)内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为axbyr20,则()Alg,且l与圆相离 Blg,且l与圆相切Clg,且l与圆相交 Dlg,且l与圆相离答案A解析因为点M(a,b)在圆内,所以a2b2r2因为圆心(0,0)到直线l的距离dr,所以直线l与圆相离又直线g的方程为yb(xa),即axbya2b20,所以lg4台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处在危险区域的时间为()A05小时 B1小时C15小时 D2小时答案B解析受影响的区域长度220千米,故影响时间为1小时5如图,一座圆弧形拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽度为()A14米 B15米 C 米 D2 米答案D解析以圆弧形拱桥的顶点为原点,以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴,以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得A(6,2),设圆的半径长为r,则C(0,r),即圆的方程为x2(yr)2r2将点A的坐标代入上述方程可得r10,所以圆的方程为x2(y10)2100,当水面下降1米后,水面弦的端点为A,B,可设A(x0,3)(x00),代入x2(y10)2100,解得x0,水面宽度|AB|2米二、填空题6已知圆C:x2y26x80,若直线ykx与圆C相切,且切点在第四象限,则k_答案解析如图,设切点为A,圆C:(x3)2y21|OC|3,|AC|1,在RtOAC中,|OA|2,ktanAOC7过点O(0,0)引圆C:(x2)2(y2)21的两条切线OA,OB,A,B为切点,则直线AB的方程是_答案2x2y70解析由题可知,A,B在以OC为直径的圆上,即(x1)2(y1)22与(x2)2(y2)21作差可得直线AB方程为2x2y708已知圆O:x2y21和点A(2,0),若定点B(b,0)(b2)和常数满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|MA|,则b_答案1解析设M(x,y),由|MB|MA|,得(xb)2y22(x2)22y2取圆上特殊点(1,0),(1,0)代入上式,可得(1b)22(12)2,(1b)22(12)2,解得b,故b1三、解答题9已知圆C1:x2y24和圆C2:x2(y8)24,直线yxb在两圆之间穿过且与两圆无交点,求实数b的取值范围解直线方程是x2y2b0当直线与圆C1相切时,2,解得b3当直线与圆C2相切时,2,解得b5或b11结合右图,知3b,直线l与圆P相离,不符合题意,舍去,检验可知当a2时符合题意这时曲线C的方程为x2y24x2y0- 1 -
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