2.7.4 与椭圆、抛物线相关的定值、定点及存在性问题考题预测精准猜押一、选择题1.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点的坐标为()A.(0,1)B.(0,2)C.(2,0)D.(1,0)【解析】选B.设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y=x,则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-y1,同理,在点B处的切线方程为y=x2x-y2,又点Q(t,-2)的坐标适合这两个方程,代入得-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,这说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=xt-y,则直线AB的方程为y-2=tx,直线AB恒过点(0,2).2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0),设A(x0,y0),过点A向准线作垂线AB,垂足为B,则B(-2,y0),因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2,则=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,4),所以AFK的面积为|KF|y0=44=8.3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线C右支上一点P满足|PF1|=3|PF2|且=a2,则双曲线C的离心率为()A.3B.C.2D.【解析】选D.设|PF2|=t,则|PF1|=3t,所以3t-t=2a,所以t=a,由余弦定理可得cosF1PF2=,因为=a2,所以3aa=a2,所以c=a,所以e=.4.直线l:x-y+m=0与椭圆x2+=1交于A,B两点,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m为()A.3B.-3C.3D.不存在【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),联立直线y=x+m与椭圆的方程得,3x2+2mx+m2-2=0,=(2m)2-43(m2-2)0,即m23,x1+x2=-,所以x0=-,y0=x0+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,可得+=5,解得m=3与m20且k2+(2k-4)+10,即k1,且k-3,且k1,所以k1,且k-3,即直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2=(x-1),令x=0得y=-+2,即点M为(0,-+2),所以=(0,-+1),又=(0,-1),=,所以(0,-+1)=(0,-1),所以=-1=,=,又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,所以=-,同理=-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=,所以+=-+-=-=-=-=2,即+为定值2.1