第4讲 导数的综合应用1(2018高考全国卷)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点解：(1)当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3.令f(x)0解得x32或x32.当x(，32)(32，)时，f(x)0；当x(32，32)时，f(x)0，所以f(x)0等价于3a0.设g(x)3a，则g(x)0，仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a60，故f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点2(2018唐山模拟)已知f(x)x2a2ln x，a0.(1)若f(x)0，求a的取值范围；(2)若f(x1)f(x2)，且x1x2，证明：x1x22a.解：(1)由题意知，f(x)x.当x(0，a)时，f(x)0，f(x)单调递增当xa时，f(x)取得最小值f(a)a2a2ln a.令a2a2ln a0，解得0a.故a的取值范围是(0， (2)证明：由(1)知，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，设0x1aa.要证x1x22a即x22ax1，则只需证f(x2)f(2ax1)因f(x1)f(x2)，则只需证f(x1)f(2ax1)设g(x)f(x)f(2ax)，0xa.则g(x)f(x)f(2ax)x2axg(a)0.又由题意得0x10，即f(x1)f(2ax1)因此x1x22a.3(2018石家庄质量检测(二)已知函数f(x)xaxln x(aR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)xaxln x存在极大值，且极大值点为1，证明：f(x)exx2.解：(1)由题意x0，f(x)1aaln x.当a0时，f(x)x，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，函数f(x)1aaln x单调递增，f(x)1aaln x0xe10，故当x(0，e1)时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，e1)上单调递减，在(e1，)上单调递增；当a0，故当x(0，e1)时，f(x)0，当x(e1，)时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，e1)上单调递增，在(e1，)上单调递减(2)证明：由(1)可知若函数f(x)xaxln x存在极大值，且极大值点为1，则a0，则h(x)ex2xln x.令g(x)h(x)，则g(x)ex20，所以函数h(x)ex2xln x在(0，)上单调递增，又he10，故h(x)ex2xln x在上存在唯一零点x0，即ex02x0ln x00.所以当x(0，x0)时，h(x)0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故h(x)h(x0)ex0xx0x0ln x0，所以只需证h(x0)ex0xx0x0ln x00即可，由ex02x0ln x00，得ex02x0ln x0，所以h(x0)(x01)(x0ln x0)，又x010，所以只要x0ln x00即可，当x0ln x00时，ln x0x0x0ex0ex0x00，所以ex0x0x0ln x00时，ln x0x0x0ex0ex0x00，所以ex0x0x0ln x00与ex02x0ln x00矛盾；当x0ln x00时，ln x0x0x0ex0ex0x00，得ex02x0ln x00，故x0ln x00成立，得h(x0)(x01)(x0ln x0)0，所以h(x)0，即f(x)exx2.4(2018郑州质量检测(二)已知函数f(x)exx2.(1)求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)求证：当x0时，ln x1.解：(1)由题意得，f(x)ex2x，则f(1)e2，f(1)e1，所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(e2)x1.(2)证明：f(x)ex2x，令h(x)ex2x，则h(x)ex2，易知f(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以f(x)f(ln 2)22ln 20，所以f(x)在(0，)上单调递增又曲线yf(x)过点(1，e1)，且曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(e2)x1，所以可猜测：当x0，x1时，f(x)的图象恒在切线y(e2)x1的上方下证：当x0时，f(x)(e2)x1.设g(x)f(x)(e2)x1exx2(e2)x1，x0，则g(x)ex2x(e2)，令(x)g(x)，则(x)ex2，易知g(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，又g(0)3e0，g(1)0，0ln 21，所以g(ln 2)0；当x(x0，1)时，g(x)0.又xln x1，所以ln x1，当且仅当x1时等号成立1