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绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设,则( )A. B. C. D. 2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 3. 已知命题命题,则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D. 4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A. B. C. D. 5. 在正方体中,P为中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D. 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )A. B. C. D. 8. 在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( )A. B. C. D. 9. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高如图,点,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高( )A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距10. 设,若为函数的极大值点,则( )A. B. C. D. 11. 设是椭圆上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 12. 设,则( )A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知双曲线的一条渐近线为,则C的焦距为_14. 已知向量,若,则_15. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,则_16. 以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_(写出符合要求的一组答案即可)三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共60分17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和,样本方差分别记为和(1)求,;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高)18. 如图,四棱锥底面是矩形,底面,为的中点,且(1)求;(2)求二面角的正弦值19. 记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知(1)证明:数列是等差数列;(2)求的通项公式20. 设函数,已知是函数的极值点(1)求a;(2)设函数证明:21. 已知抛物线的焦点为,且与圆上点的距离的最小值为(1)求;(2)若点在上,是的两条切线,是切点,求面积的最大值(二)选考题,共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选修4-4:坐标系与参数方程(10分)22. 在直角坐标系中,的圆心为,半径为1(1)写出一个参数方程;(2)过点作的两条切线以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程选修4-5:不等式选讲(10分)23. 已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求a的取值范围绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学答案注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数.【详解】设,则,则,所以,解得,因此,.故选:C.2. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得,由此可得出结论.【详解】任取,则,其中,所以,故,因此,.故选:C.3. 已知命题命题,则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性,由指数函数的知识确定命题的真假性,由此确定正确选项.【详解】由于,所以命题为真命题;由于在上为增函数,所以,所以命题为真命题;所以真命题,、为假命题.故选:A4. 设函数,则下列函数中为奇函数的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得,对于A,不是奇函数;对于B,是奇函数;对于C,定义域不关于原点对称,不是奇函数;对于D,定义域不关于原点对称,不是奇函数.故选:B【点睛】本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.5. 在正方体中,P为的中点,则直线与所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直线至,将直线与所成的角转化为与所成的角,解三角形即可.【详解】如图,连接,因为,所以或其补角为直线与所成的角,因为平面,所以,又,所以平面,所以,设正方体棱长为2,则,所以.故选:D6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.【详解】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解.7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法一:从函数的图象出发,按照已知的变换顺序,逐次变换,得到,即得,再利用换元思想求得的解析表达式;解法二:从函数出发,逆向实施各步变换,利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,根据已知得到了函数的图象,所以,令,则,所以,所以;解法二:由已知的函数逆向变换,第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,即为的图象,所以.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换,属基础题,可以正向变换,也可以逆向变换求解,关键是要注意每一步变换,对应的解析式中都是的变换,图象向左平移个单位,对应替换成,图象向右平移a个单位,对应x替换成,牢记“左加右减”口诀;图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍,对应解析式中替换成.8. 在区间与中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设从区间中随机取出的数分别为,则实验的所有结果构成区域为,设事件表示两数之和大于,则构成的区域为,分别求出对应的区域面积,根据几何概型的的概率公式即可解出【详解】如图所示:设从区间中随机取出的数分别为,则实验的所有结果构成区域为,其面积为设事件表示两数之和大于,则构成的区域为,即图中的阴影部分,其面积为,所以故选:B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题,解题关键是准确求出事件对应的区域面积,即可顺利解出9. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高如图,点,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高( )A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出【详解】如图所示:由平面相似可知,而,所以,而,即故选:A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式,围绕所求目标进行转化即可解出10. 设,若为函数的极大值点,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否编号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到所满足的关系,由此确定正确选项.【详解】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.当时,由,画出的图象如下图所示:由图可知,故.当时,由时,画出的图象如下图所示:由图可知,故.综上所述,成立.故选:D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质,利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.11. 设是椭圆的上顶点,若上的任意一点都满足,则的离心率的取
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