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2023-2024学年广西名校联合高二下学期期末联考数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数fx在x=x0处的导数为3,则limx0fx0+xfx02x=()A. 3B. 32C. 6D. 232.为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展,我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育,要求这5名教师被分派到3个学校对口支教,每名教师只去一个学校,每个学校至少安排1名教师,其中2名女教师分派到同一个学校,则不同的分派方法有()A. 18种B. 36种C. 68种D. 84种3.已知函数fx=x32x2+x1,则下列说法正确的是()A. fx的极小值为2B. fx的极大值为2327C. fx在区间13,1上单调递增D. fx在区间,0上单调递减4.在x1(xy)6的展开式中,含x4y3项的系数为()A. 20B. 20C. 15D. 155.若曲线y=1xex有两条过点Aa,0的切线,则a的取值范围是()A. ,13,+B. 3,1C. ,3D. ,31,+6.已知函数fx=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值8,则f1等于()A. 4B. 16C. 4或16D. 16或187.已知函数fx=2sinxex+ex,则关于x不等式fx24+f3x0的解集为()A. 4,1B. 1,4C. ,41,+D. 1,48.已知a=e2ln3,b=ee1,c=e32ln2,则有()A. abcB. acbC. bacD. bc0,若函数gx=fxm恰有一个实根,则实数m的取值范围是四、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知函数f(x)=2x33x212x+9(1)求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)在3,3上的最值18.(本小题12分)若2xa7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,且a4=560(1)求实数a的值;(2)求a1+a22+a322+a423+a524+a625+a726的值19.(本小题12分)若x x+1x4n的展开式中,第二三四项的二项式系数成等差数列(1)求n的值;(2)此展开式中是否有常数项?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由20.(本小题12分)已知0,1,2,3,4,5,6共7个数字(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数?(结果用数字作答)21.(本小题12分)已知函数fx=axlnx1aR(1)讨论fx的单调性;(2)若函数fx有一个零点,求a的取值范围22.(本小题12分)已知函数fx=a1lnx12x2+x,aR(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x平行,证明:fxln4;(2)设gx=2xax12x2,若对x1,+,均有fx+4gx,求实数a的取值范围参考答案1.B2.B3.B4.A5.D6.A7.C8.C9.BC10.AC11.ABD12.BD13.8014.4815.3,00,+16.,01e,+17.解:(1)将x=1代入函数解析式得y=4,函数f(x)=2x33x212x+9f(x)=6x26x12=6(x2)(x+1),所以f(1)=12,由直线方程的点斜式得y+4=12(x1)所以函数在x=1处的切线方程为12x+y8=0;(2)令f(x)=6x26x12=6(x2)(x+1)=0,解得x=2或x=1,又因为x3,3当x3,1)(2,3时,f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0,所以f(x)在(1,2)上单调递减,在3,1),(2,3上单调递增,因为f(3)=36,f(2)=11,所以f(x)min=f(3)=36因为f(1)=16,f(3)=0,所以f(x)max=f(1)=16故f(x)在3,3上的最小值为36,最大值为1618.解:(1)依题意,2xa7=a+2x7,a4x4=C742x4a3=16a3C74x4,因此a4=560a3=560,解得a=1,所以实数a的值是1(2)由(1)知,a=1,当x=0时,a0=(a)7=1,当x=12时,a0+a12+a222+a323+a424+a525+a626+a727=0,因此2a0+a1+a22+a322+a423+a524+a625+a726=0,所以a1+a22+a322+a423+a524+a625+a726=2a0=219.解:(1)由题意得:Cn1+Cn3=2Cn2n3,n+nn1n26=2nn12,化简得:nn29n+14=0,解得:n=7或n=2(舍去),所以n=7(2)不存在,理由如下:Tr+1=C7rx327rx4r=C7rx2111r2,0r7且rN,2111r2=0时,解得r=2111N,所以展开式中不存在常数项20.解:(1)先排最高位有6种方法,其余的3个位置没有限制,任意排,有A63种方法根据分步计数原理,可组成没有重复数字的四位数的个数为6A63=720;(2)末尾是0,则有A63=120个;末尾不是0,则末尾是2,4,6,有C31C51A52=300个,共有120+300=420个(3)5的倍数末尾是0,则有A63=120个;末尾是5,有C51A52=100个共有120+100=22021.解:(1)函数fx=axlnx1aR的定义域为0,+,可得fx=a1x=ax1x当a0时,fx0时,令fx0,可得0x0,可得x1a,故函数fx在0,1a上单调递减,在1a,+上单调递增(2)函数fx在0,+有一个零点,等价于方程axlnx1=0在0,+有一个根,即方程a=1+lnxx在0,+有一个根,即直线y=a与函数y=1+lnxx在0,+上有一个交点,令gx=1+lnxxx0,可得gx=lnxx2,令gx0,即lnx1;令gx0,即为lnx0,解得0x1e时,gx0,且x+时,gx0,当x0时,gx,所以当a0或a=1时,函数fx有一个零点,即a的取值范围为(,0122.解:(1)证明:因为fx=a1xx+1x0,所以切线的斜率k=f1=a1又因为切线与直线y=2x平行,所以a1=2,解得a=3,所以fx=2lnx12x2+xfx=2xx+1=x2+x+2xx0,由fx0得0x2,则函数fx的单调递增区间为0,2;由fx2,则函数fx的单调递减区间为2,+,所以fx在x=2处取极大值,也为最大值,且f2=2ln2=ln4.所以fxln4;(2)证明:由fx+4gx得a1lnx12x2+x+42xax12x2,整理得a1lnx+ax+x+20设x=a1lnx+ax+x+2x1,则x0在1,+上恒成立,x=a1xax2+1=x2+a1xax2=x1x+ax2 当a1时,x0,x在1,+上单调递增,依题意得(x)(1)=a+320.满足题意;当a1时,由x0得1x0得xa,则函数x在a,+上单调递增,所以x在x=a处取极小值,也为最小值(x)min=(a)=(a1)ln(a)+aaa+2 =a1lnaa+1依题意得(x)min=(a1)ln(a)a+10.可得lna1,解得ea1综上可得实数a的取值范围为e,+第7页,共7页
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