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第11讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一:不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二:由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三:切线与切线长问题题型四:弦长问题题型五:判断圆与圆的位置关系题型六:由圆的位置关系确定参数题型七:公共弦与切点弦问题题型八:公切线问题题型九:圆中范围与最值问题题型十:圆系问题【知识点梳理】知识点一:直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系:(1)直线与圆相交,有两个公共点;(2)直线与圆相切,只有一个公共点;(3)直线与圆相离,没有公共点2、直线与圆的位置关系的判定:(1)代数法:判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解如果有解,直线与圆C有公共点有两组实数解时,直线与圆C相交;有一组实数解时,直线与圆C相切;无实数解时,直线与圆C相离(2)几何法:由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断:当时,直线与圆C相交;当时,直线与圆C相切;当时,直线与圆C相离知识点诠释:(1)当直线和圆相切时,求切线方程,一般要用到圆心到直线的距离等于半径,记住常见切线方程,可提高解题速度;求切线长,一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形,由勾股定理解得(2)当直线和圆相交时,有关弦长的问题,要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形,也是通过勾股定理解得,有时还用到垂径定理(3)当直线和圆相离时,常讨论圆上的点到直线的距离问题,通常画图,利用数形结合来解决知识点二:圆的切线方程的求法1、点在圆上,如图法一:利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于,即法二:圆心到直线的距离等于半径2、点在圆外,则设切线方程:,变成一般式:,因为与圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,解出知识点诠释:因为此时点在圆外,所以切线一定有两条,即方程一般是两个根,若方程只有一个根,则还有一条切线的斜率不存在,务必要把这条切线补上常见圆的切线方程:(1)过圆上一点的切线方程是;(2)过圆上一点的切线方程是知识点三:求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形:半径,圆心到直线的距离,弦长具有的关系,这也是求弦长最常用的方法2、利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长知识点四:圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系:(1)圆与圆相交,有两个公共点;(2)圆与圆相切(内切或外切),有一个公共点;(3)圆与圆相离(内含或外离),没有公共点2、圆与圆的位置关系的判定:(1)代数法:判断两圆的方程组成的方程组是否有解有两组不同的实数解时,两圆相交;有一组实数解时,两圆相切;方程组无解时,两圆相离(2)几何法:设的半径为,的半径为,两圆的圆心距为当时,两圆相交;当时,两圆外切;当时,两圆外离;当时,两圆内切;当时,两圆内含知识点诠释:判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法,通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定,这种方法运算量小也可利用代数法,但是利用代数法解决时,一是运算量大,二是方程组仅有一解或无解时,两圆的位置关系不明确,还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定因此,在处理圆与圆的位置关系时,一般不用代数法3、两圆公共弦长的求法有两种:方法一:将两圆的方程联立,解出两交点的坐标,利用两点间的距离公式求其长方法二:求出公共弦所在直线的方程,利用勾股定理解直角三角形,求出弦长4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线,圆的公切线包括外公切线和内公切线两种(1)两圆外离时,有2条外公切线和2条内公切线,共4条;(2)两圆外切时,有2条外公切线和1条内公切线,共3条;(3)两圆相交时,只有2条外公切线;(4)两圆内切时,只有1条外公切线;(5)两圆内含时,无公切线【典例例题】题型一:不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系例1直线与圆的位置关系为()A相交B相切C相离D与的值有关例2已知直线与圆,则下列说法错误的是()A对,直线恒过一定点B,使直线与圆相切C对,直线与圆一定相交D直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为题型二:由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标例3直线与圆没有公共点,则的取值范围是()A或BCD或例4关于的方程有两解,则k的范围为()A B C D题型三:切线与切线长问题例15圆在点处的切线方程为_.例6由直线上一点向圆引切线,则切线长的最小值为_例7已知圆,直线,为直线上的动点,过作圆的切线,切点为,则四边形的面积的最小值为_题型四:弦长问题例8若直线与圆相交于两点,则弦的长为_例9圆的一条弦以点为中点,则该弦的斜率为 _例10设为实数,若直线与圆相交于M,N两点,且,则_.题型五:判断圆与圆的位置关系例11圆与圆的位置关系是()A外离B外切C相交D内切例12已知圆与圆,则圆与圆的位置关系为()A相交B外切C外离D内含题型六:由圆的位置关系确定参数例13已知圆:和圆:外切,则实数m的值为_.例14已知圆,以点为圆心,半径为r的圆与圆C有公共点,则r的取值范围为_题型七:公共弦与切点弦问题例15已知圆:过圆:的圆心,则两圆相交弦的方程为_.例16已知圆和圆,则圆与圆的公共弦的弦长_例17过点作圆的两条切线,设两切点分别为A、B,则直线的方程为_.题型八:公切线问题例18已知圆与圆恰有两条公切线,则实数的取值范围_例19已知圆与圆,则圆与圆的公切线方程是_题型九:圆中范围与最值问题例20圆上恰好有两点到直线的距离为,则实数的取值范围是_.例21设圆:上有且仅有两个点到直线的距离等于,则圆半径的取值范围是_.例22已知圆: ,为圆上任一点,则的最大值为_.题型十:圆系问题例23已知圆:与:相交于A、B两点(1)求公共弦AB所在的直线方程;(2)求圆心在直线yx上,且经过A、B两点的圆的方程;(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程【过关测试】一、单选题1直线被圆截得的弦长为1,则半径()ABC2D2已知圆与圆,求两圆的公共弦所在的直线方程()ABCD3已知,圆,圆, 若直线过点且与圆相切,则直线被圆所截得的弦长为()ABCD4若圆与圆外切,则()A21B19C9D5在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知圆的半径为3,直线,互相垂直,垂足为,且与圆相交于,两点,与圆相交于,两点,则四边形的面积的最大值为()A10B12C13D15二、填空题6若直线与圆相切,则实数_7已知圆与圆相交,则它们的公共弦所在的直线方程是 8若直线与曲线有且只有一个公共点,则实数m的取值范围是_三、解答题9已知圆C过点,(1)求圆C的方程;(2)若直线与圆C交于两点A,B,且,求m的值10已知圆,直线.(1)证明:直线和圆恒有两个交点;(2)若直线和圆交于两点,求的最小值及此时直线的方程.第 9 页 共 9 页
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