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河南省2024年普通高考模拟测试数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1复数满足,则()ABCD2若非空集合,满足:,则()ABCD3已知命题 “”,则为()ABCD4已知,则在上的投影向量为()ABCD5抛物线上的点到焦点的距离为()AB2CD16若,则()A1BC2D7已知某4个数据的平均值为6,方差为3,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为()A2BCD8若,则()A180BCD90二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9设椭圆:的左、右焦点分别为、,是上的动点,则下列结论正确的是()A椭圆的离心率BC面积的最大值为12D的最小值为10已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足,成等差数列,其前项和为,且,则()ABCD11下列命题正确的是()A数据4,5,6,7,8,8的第50百分位数为6B已知随机变量,若,则C对于随机事件A,B,若,则A与B相互独立D已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为:男生样本平均数为172,方差为120,女生样本平均数为165,方差为120,则总体样本方差为120三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布,若,则实数的值为 .13已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为5,侧面积为,则圆台的高为 .14已知4件产品中有2件次品,现逐个不放回检测,直至能确定所有次品为止,记检测次数为,则 .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在中,内角,的对边分别为,已知(1)求角;(2)若,是的中点,求边16某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动,使用这款人数的满意度统计数据如下:月份12345不满意的人数1201051009580(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程,并预测该小区10月份对这款App不满意人数;(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人,调查是否使用这款App与性别的关系,得到下表:根据小概率值的独立性检验,能否认为是否使用这款App与性别有关?使用App不使用App女性4812男性2218附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817如图,在三棱柱中,为的中点,平面.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.18设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.()求椭圆的方程;()设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上.若(为原点),且,求直线的斜率.19已知函数,其中,.若点在函数的图像上,且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点,则称点为点的一个“上位点”,现有函数图像上的点列,使得对任意正整数,点都是点的一个“上位点”.(1)若,请判断原点是否存在“上位点”,并说明理由;(2)若点的坐标为,请分别求出点、的坐标;(3)若的坐标为,记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数,使得无穷数列、严格减?若存在,求出实数的所有可能值;若不存在,请说明理由.1D【分析】首先求复数,再求模.【详解】,所以.故选:D2B【分析】根据交集和子集概念进行推导即可.【详解】因为,所以依据交集概念可知,故A错,又因为,所以且,所以,即,故B正确,所以,故C、D错.故选:B.3C【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.【详解】存在量词命题:的否定是:.故选:C4D【分析】首先根据向量数量积公式,求,再代入投影向量公式,即可求解.【详解】,由,得,所以向量在上的投影向量为.故选:D5A【分析】根据抛物线上的点求抛物线方程,再根据焦半径公式,即可求解.【详解】由条件可知,则,所以,所以点到焦点的距离.故选:A6B【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.【详解】因为,所以,所以,所以,故选:B7B【分析】根据题意,由平均数以及方差的计算公式,代入计算,即可得到结果【详解】设原来4个数据依次为a、b、c、d,则,由方差为3,所以,即,所以,则,现加入数据8和10,则则其平均数为,则这6个数据的方差为故选:B8A【分析】由写出其通项公式,依题意对赋值即可求得.【详解】因,其二项展开式的通项为:,而是的系数,故只需取,得,即.故选:A.9AC【分析】对于A,由椭圆方程及离心率概念可得;对于B,由椭圆定义可判断;对于C、D,由椭圆图形的结构特征和性质可得.【详解】对于A,由椭圆方程得,所以,所以离心率为,故A对;对于B,由椭圆定义可知,故B错;对于C,由椭圆图形的结构特征及性质可知当P位于椭圆上顶点或下顶点时,面积取得最大,最大值为,故C对;对于D,由椭圆性质可知,所以的最小值为2,故D错.故选:AC.10AC【解析】先根据,成等差数列求出公比,结合求出首项,结合选项可得.【详解】由,成等差数列,得.设的公比为,则,解得或(舍去),所以,解得.所以数列的通项公式为,故选:AC.11BC【分析】根据百分位数定义判断A;由二项分布方差计算公式判断B;由条件概率公式和独立事件的定义判断C;由分层抽样样本方差的计算公式判断D.【详解】对于A,由于,则数据4,5,6,7,8,8的第50百分位数为,故A错误;对于B,由于,则,故B正确;对于C,若,根据条件概率公式则有,变形可得,则与相互独立,故C正确;对于D,分层抽样的平均数,按分层抽样样本方差的计算公式,故D错误.故选:BC123【分析】根据正态分布的对称性可得方程,求出.【详解】近似服从正态分布,故,解得.故答案为:3133【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线,再根据圆台轴截面求出高即可.【详解】因为圆台的上底面半径为1,下底面半径为5,侧面积为 ,设母线长为,高为.则,解得.如图所示圆台的轴截面,在中,由勾股定理得:圆台的高.故答案为:3.14【分析】首先确定,分别求出各自的概率,然后期望公式可求【详解】记检测次数为,则当时,检测的两件产品均为正品或为次品,则,当时,只需前两件产品中正品和次品各一件,第三件无论是正品还是次品,都能确定所有次品,则,所以,故答案为:15(1);(2).【解析】(1)先利用正弦定理将边转化到角的正弦,结合进行化简,即求得角;(2)中利用余弦定理求得,判断是等边三角形,即得到边.【详解】解:(1)因为,由正弦定理得:,因为,代入上式得,即,即因为中,所以,即,又因为中,所以;(2)依题意,中,利用余弦定理可得,即,解得,中,故是等边三角形,故.【点睛】思路点睛:一般地,解有关三角形的题目时,通常利用正弦定理或余弦定理对边角关系进行转化,要有意识地已知条件判断用哪个定理更合适. 如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理.16(1);37(2)即认为是否使用这款APP与性别有关,此推断的错误概率不大于【分析】(1)根据题给数据求解回归方程即可得出结论;(2)根据题给数据分析列联表求解得出结论【详解】(1)由表中的数据可知,不满意人数与月份之间的回归直线方程为,当时,预测该小区10月份对这款App不满意人数为37;(2)提出假设:是否使用这款App与性别无关,由表中的数据可得,根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为是否使用这款APP与性别有关,此推断的错误概率不大于17(1)证明见解析;(2).【分析】(1)根据给定条件,借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得,再利用线面垂直的判定、性质推理即得.(2)由(1)的信息以为原点建立空间直角坐标系,利用面面角的向量求法求解即可.【详解】(1)在三棱柱中,则,由,得,在中,由余弦定理,得,于是,由平面平面,得,而平面,因此平面,又平面,所以,(2)由(1)知,两两垂直,以为原点,直线分别为轴建立空间直角坐标系,由,得,则,于是,设为平面的一个法向量,则,取,得,显然为平面的一个法向量,因此,显然二面角的大小为锐角,所以二面角的余弦值为.18()()或.【分析】()由题意得到关于a,b,c的方程,解方程可得椭圆方程;()联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标,从而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程,解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为,依题意,又,可得,b=2,c=1.所以,椭圆方程为.()由题意,设.设直线的斜率为,又,则直线的方程为,与椭圆方程联立,整理得,可得,代入得,进而直线的斜率,在中,令,得.由题意得,所以直线的斜率为.由,得,化简得,从而.所以,直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.19(1)原点不存在“上位点”,理由见解析(2)点的坐标为,点的坐标为(3)存在,【分析】(1)先求得函数经过点的切线方程,再根据“上位点”的定义判断即可;(2)设点的横坐标为,为正整数,再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得,进而可得、的坐标;(3)由(2),构造等比数列可得,由题意,再根据导数与单调性的关系分析判断即可.【详解】(1)已知,则,得,故函数经过点的切线方程为,其与函数图像无其他交点,所以原点不存在“上位点”.(2)设点的横坐标为,为正整数,则函数图像在点处的切线方程为,代入其“上位点”,得,化简得,即,故,因为,得(*),又点的坐标为,所以点的坐标
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