12024 年北京市海淀区高三一模数学试卷本试卷共 9 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集22Uxx，集合12Axx，则UC AA.(2,1)B.2,1C.(2,1)2D.2,1)22.若复数z满足i1iz，则z的共轭复数z A.1iB.1iC.1i D.1i 3.已知 na为等差数列，nS为其前n项和.若122aa，公差0d，0mS，则m的值为A.4B.5C.6D.74.已知向量,a b满足|2a，(2,0)b，且|2ab，则,a bA.6B.3C.23D.565.若双曲线22221(0,0)xyabab上的一点到焦点(5,0)的距离比到焦点(5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为A.2214xyB.2212xyC.2212yx D.2214yx 6.设,是两个不同的平面，,l m是两条直线，且m，l.则“l”是“/m”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件27.已知3,0()lg(1),0 xxf xxx，函数()f x的零点个数为m，过点(0,2)与曲线()yf x相切的直线的条数为n，则,m n的值分别为A.1,1B.1,2C.2,1D.2,28.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边在第三象限.则A.sincostanB.sincostanC.sincostanD.sincostan9.函数()f x是定义在(4,4)上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f.设()fx是()f x的导函数，则关于x的不等式(1)()0f xfx的解集是A.0,2B.3,03,4)C.(5,02,4)D.(4,02,3)10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60），再沿直线繁殖，；每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到11A，然后分叉向21A与22A方向继续繁殖，其中21112260A A A，且1121A A与1122A A关于11OA所在直线对称，11211122111,2A AA AOA.若114cmOA，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r*(,cm)rN 单位:至少为A.6B.7C.8D.93第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.已知ln2ab，则22lnlnab_.12.已知22:(1)3Cxy，线段AB是过点(2,1)的弦，则|AB的最小值为_.13.若443243210(2)xa xa xa xa xa，则0a _；13024aaaaa_.14.已知函数()sin()sin24f xxx，则5()4f_；函数()f x的图象的一个对称中心的坐标为_.15.已知函数3()f xxx，给出下列四个结论：函数()f x是奇函数；k R，且0k，关于x的方程()0f xkx恰有两个不相等的实数根；已知P是曲线()yf x上任意一点，1(,0)2A，则1|2AP；设11(,)M x y为曲线()yf x上一点，22(,)N xy为曲线()yf x 上一点.若12|1xx，则|1MN.其中所有正确结论的序号是_.4三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 13 分）在ABC中，sin3 cos2bCcBc.（）求B；（）若2 3a，4bc，求ABC的面积.517.（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ADBC，M为BP的中点，/AM平面CDP.（）求证：2BCAD；（）若PAAB，1ABAPADCD，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥PABCD存在且唯一确定.（）求证：PA 平面ABCD；（）设平面CDP 平面BAPl，求二面角ClB 的余弦值.条件：BPDP；条件：ABPC；条件：CBMCPM.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.618.（本小题 13 分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100 x4108090 x3a7080 x2b6070 x123060 x02（）当35a 时，（）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望()E X；（）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y.若根据表中信息能推断12YY恒成立，直接写出a的最小值.719.（本小题 15 分）已知椭圆22:G xmym的离心率为22，12,A A分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.（）求m的值及点F的坐标；（）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线2x 上，且PFFQ，直线PQ与x轴交于点M.比较2|MP与12|MAMA的大小.820.（本小题 15 分）已知函数12()eaxf xx.（）求()f x的单调区间；（）若函数2()|()e|g xf xa，(0,)x存在最大值，求a的取值范围.921.（本小题 15 分）已知212:,mQ a aa*(2,)mmN为有穷正整数数列，其最大项的值为m，且当0,1,1km时，均有km ikmjaa(1)ijm.设00b，对于0,1,1tm，定义1min,tinbn nb at，其中，minM表示数集M中最小的数.（）若:3,1,2,2,3,1,2,3Q，写出13,b b的值；（）若存在Q满足：12311bbb，求m的最小值；（）当2024m 时，证明：对所有Q，202320240b.