12024 年高考第二次模拟考试高三数学（天津卷）参考答案第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、选择题，共选择题，共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分，在每小题给出的四个选项中，只有一分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的。123456789DADBCBBCA第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）二、二、填空题，本大题共填空题，本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，试题中包含两个空的，答对分，试题中包含两个空的，答对 1个的给个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分。分。101i11154125413114.1；276415.30；238三三、解答题解答题，本大题共本大题共 5 小题小题，共共 75 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤证明过程成演算步骤。16.（15 分）【解析】（1）由题设及正弦定理知：56bcac，则56ba，又2bca，故32cb.2 分，又2222222541369cos5228263bbbacbBacbb.4 分（2）由 B 为内角且1cos8B，则3 7sin8B.5 分故3 7sin22sincos32BBB，231cos22cos132BB .7 分所以3 733113 2131sin 2sin2 coscos2 sin()66632232264BBB.9 分（3）由tantantantan()tan()1tantanABCABABAB .10 分而2AB，所以22tantantan21 tanBABB，由（2）知：tan3 7B，则3 7tan31A ，.12 分2综上，3 73 7tantan45 731tantantan1473 73 7()131ABCAB .15 分17.（15 分）【解析】（1）依题意，PA 平面ABCD，如图，以 A 为原点，分别以,AD AB AP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，可得(0,0,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(0,0,4),(0,4,2),(2,0,2)ABCDPEF，(2,0,2),(4,4,4),80(8)0,AFPCAF PCAFPC .3 分（2）(0,4,2)PE ,(4,4,4)PC 设平面PEC的一个法向量为(,)nx y z，则00n PCn PE ，即4440420 xyzyz，令1y ，则1,2xz ，故(1,1,2)n ，.5 分(0,4,0)DC，故D到平面PEC的距离即DC在法向量n上的投影长度，则42 6|3|6DC ndn ，故D到平面PEC的距离为2 63.8 分（3）因为,AFPD AFPC PDPCP，,PD PC 平面PCD，所以AF 平面PCD，故(2,0,2)AF 为平面PCD的一个法向量.10 分设平面PCD与平面PCE的夹角为，则|204|3cos|cos,|22 26AF n ，3所以平面PCD与平面PCE的夹角为6.15 分18（15 分）【解析】解：（1）由椭圆的一个焦点为1(1,0)F 知：1c，因为上顶点到这个焦点的距离为 2，故2a，所以3b，所求椭圆C的标准方程为22143xy；.4 分（2）假设存在过点A的直线l符合题意，直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为(2)yk x，由22143(2)xyyk x，得2222341616120kxk xk.5 分点A是直线l与椭圆C的一个交点，则2Ax，22161234ABkxxk，228634Bkxk，21234Bkyk，.7 分即点2228612,3434kkBkk，(2,0)OA ，.9 分2221612,3434kkOAOBkk ，.11 分即222141612,73434kkOTkk 点T在圆222xy上.2222221612273 43 4kkkk，.13 分化简得42488210kk，解得234k，32k ，经检验知，此时对应的判别式0，满足题意，故存在满足条件的直线l，其方程为3(2)2yx.15 分19（15 分）【解析】（1）由11111126aSaa，结合111aS，因此12a.1 分由111111121266nnnnnnnaSSaaaa得1130nnnnaaaa，.4 分4又0na，得13nnaa.6 分从而 na是首项为 2 公差为 3 的等差数列，故 na的通项公式为31nan.7 分（2）由(21)1nbna可得23log31nnbn，从而23 63log()2 531nnTn323 633log()2 531nnTn3313231331nnnnnn，33331 32()3131331nnnnnnnn.11 分于是33323633log2531nnTn23 4 56 7 833132log2 3 45 6 731331nnnnnn 232log2n.13 分2231log(32)log3nnTna.15 分20（15 分）【解析】（1）解：当1a 时,21 exyxx，232 e21 exxyxxxx,所以，当2,1x 时，0y，1,0 x 时，0y，所以，yfx g x在2,1上单调递减,1,0上单调递增,.3 分因为，当2x 时,23ey,当0 x 时,1y,所以，yf xg x在区间2,0上的最大值为1.5 分（2）解：当1a 时,关于x的方程为21exxxk 有且仅有一个实根,所以，21exxxk有且仅有一个实根,设 21exxxh x,则 22221 e1 e1232eeexxxxxxxxxxxxh x,.7 分所以，当 12,x 时，0h x，当1,2x时，0h x，5所以，h x在,1和2,上单调递减,在1,2上单调递增,.8 分因为 2131,2eehh,22131240eexxxxxh x当x趋近于时，h x趋近于，x趋近于时，h x趋近于0，所以，21exxxk有且仅有一个实根,则实数k的取值范围是2130,ee.9 分（3）解：不妨设1202xx,则122112eeeexxxxfxfx恒成立因此122112eeeexxxxfxfx恒成立,即 1212eexxf xf x恒成立,且 1212eexxf xf x恒成立,所以，函数 exyf x和e()xyf x均在0,2上单调递增,.10 分设 22ee1,ee1xxxxu xf xxaxv xf xxax,则 e20 xu xxa在上0,2上恒成立,因此e2xax 在0,2上恒成立，因此maxe2xax,因为e2xyx 在0,2上单调递减,所以，0 x 时,max1y，即1a .12 分由 e20 xv xxa在0,2上恒成立,因此e2xax在0,2上恒成立,因此mine2xax,设 e202xxxx,则 e20 xx，解得ln2x.13 分所以，当0,ln2x时，0 x，x单调递减；当ln2,2x时，0 x，x单调递增所以，minln222ln2x，即22ln2a 综上，实数a的取值范围是1,22ln2.15 分